Eculid算法  欧几里得算法

证明:

设两数a,b(a<b).

  1. 令c=gcd(a,b) . 则 设a=mc, b=nc 。
  2. 所以 r= r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c  。
  3. 所以 c也是r的因数 。
  4. 可以断定 m-kn 与 n 互质 。【假设m-kn=xd,n=yd (d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)cd,b=nc=ycd,则a与b的一个公约数cd>c,故c非a与b的最大公约数,与前面结论矛盾】,因此,c也是b与r的最大公约数。
  5. 得证。

代码实现:

int gcd (int a, int b)
{
     ? a : gcd(b, a%b);
}

Extend_Eculid  拓展欧几里得算法

证明:

设a>b

当b=0时,a∗1+b∗0=a=gcd(a,b),此时x=1,y=0

当b!=0时,设

a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)

b∗x2+a%b∗y2=gcd(b,a%b)

由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以有a∗x1+b∗y1=b∗x2+a%b∗y2

将a%b=a−(a/b)∗b代入,

得到 a∗x1+b∗y1=a∗y2+b∗x2−(a/b)∗b∗y2

即 x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2

因此可以递归的定义exgcd,同样b=0时递归结束。返回最大公约数

代码实现:

void ext_gcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = ;
        y = ;
    }
    else
    {
        ext_gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
}

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