题目链接:1039C - Network Safety/1040E - Network Safety

题目大意:不得不说这场比赛的题面真的是又臭又长......

  有n个点,m条边,每个点有对应的权值c[i],权值的范围是\([0,2^{k}-1]\)。称一条边为安全的,当且仅当边两端的点权不同,题目保证初始状态下的所有边都是安全的。现在问你有多少个pair<set<int> A,int x>(找不到更好的语言来描述了),使得当所有A中的点的权值都变为c[i] xor x时,仍然保证所有m条边都是安全的。

题解:显然当没有其他限制时,对任意的x,set<int>A的个数都为\(2^{n}\),考虑一条边{u,v},若x=c[u] xor c[v],则u和v会被绑定,即这两个点要么都在A内,要么都不在A内。这样对任意的x,我们就能用并查集求出连通块的个数(在被绑定的两个点之间连边),此时设连通块个数为sz,则对于这个x,对应的set<int>A的个数就有\(2^{sz}\)个。显然对应set<int>A的个数不为\(2^{n}\)的x不会超过m个,我们只需对所有相同的m进行分开求解。这样最终的答案就是\(\sum_{i=1}^{cnt} 2^{sz_i}+(2^{k}-cnt)\cdot 2^{n}\)。

   注意若直接用平常的方法对fa数组进行初始化的话时间复杂度会变为O(nm),会导致TLE。因此在处理每一个x时,要记录下被修改的点,还原时只需还原这些点对应的值就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500001
#define LL long long
#define MOD 1000000007
set<LL>s;
struct rua{LL x,u,v;}a[N];
LL n,m,k,c[N],fa[N],sz,cnt,ans;
bool cmp(rua x,rua y){return x.x<y.x;}
LL Find(LL x){return fa[x]==x?x:fa[x]=Find(fa[x]);}
LL qow(LL x,LL y){return y?(y&?x*qow(x,y-)%MOD:qow(x*x%MOD,y/)):;}
void add(LL u,LL v)
{
s.insert(u),s.insert(v);
if(Find(u)!=Find(v))fa[Find(u)]=Find(v),sz--;
}
int main()
{
scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&k);
for(LL i=;i<=n;i++)
scanf("%I64d",&c[i]),fa[i]=i;
for(LL i=;i<=m;i++)
scanf("%I64d%I64d",&a[i].u,&a[i].v),
a[i].x=c[a[i].u]^c[a[i].v];
sort(a+,a+m+,cmp);
for(LL i=;i<=m;)
{
LL j=i;sz=n;
for(auto x:s)fa[x]=x;s.clear();
while(j<=m && a[j].x==a[i].x)
add(a[j].u,a[j].v),j++;
i=j,cnt++,ans+=qow(,sz),ans%=MOD;
}
return printf("%I64d\n",(ans+(qow(,k)+MOD-cnt)*qow(,n)%MOD)%MOD),;
}