Description

  有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个n维球体中,你只知道球
面上n+1个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

  第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行,每行有n个实数,表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位,且其绝对值都不超过20000。

Output

  有且只有一行,依次给出球心的n维坐标(n个实数),两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

  提示:给出两个定义:1、 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离:设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn),则AB的距离定义为:dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

Solution

这是一个超球球心坐标问题

设球心坐标为(a1,a2,a3,...,an),球的半径为R

则对于任意一个球上的点(x1,x2,x3,...,xn),有(x1-a1)^2+(x2-a2)^2+(x3-a3)^2+...+(xn-an)^2=R这样的式子

那么在得知所有点的坐标时,我们对其预处理,用上下两式相减,消去R,得到另一个二次的式子,将二次项坐标系数放到等号右边,其余放在左边相应位置,即构造出了高斯消元用的方程组

剩余的就是gauss消元的模板了,0ms通过评测,程序如下

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=;
int n;
double pos[N][N],f[N][N];
void gauss(){
for(int i=;i<=n;i++){
int t=i;
for(int j=i+;j<=n;j++)
if(fabs(f[j][i])>fabs(f[t][i]))
t=j;
if(t^i)
for(int j=i;j<=n+;j++)
swap(f[i][j],f[t][j]);
for(int j=i+;j<=n;j++){
double x=f[j][i]/f[i][i];
for(int k=i;k<=n+;k++)
f[j][k]-=f[i][k]*x;
}
}
for(int i=n;i>=;i--){
for(int j=i+;j<=n;j++)
f[i][n+]-=f[j][n+]*f[i][j];
f[i][n+]/=f[i][i];
}
}
void output(){
for(int i=;i<=n;i++){
printf("%.3lf",f[i][n+]);
if(i^n)
putchar(' ');
else
putchar('\n');
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n+;i++){
for(int j=;j<=n;j++){
scanf("%lf",&pos[i][j]);
if(i^){
f[i-][j]=*(pos[i][j]-pos[i-][j]);
f[i-][n+]+=pos[i][j]*pos[i][j]-pos[i-][j]*pos[i-][j];
}
}
}
gauss();
output();
return ;
}

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