bzoj 4176

题意：求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}d(ij)$

首先推一发式子：

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}d(ij)$

有一个结论：$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)\equiv 1]$

然后代入，得：

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)\equiv 1]$

然后优先枚举$p$,$q$，得到：

$\sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)\equiv 1]\sum_{p|i}\sum_{q|j}1$

那么也就是：

$\sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)\equiv 1]\frac{n}{p}\frac{n}{q}$

接下来就是常规步骤了

$\sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}\sum_{t|gcd(p,q)}\mu(t)\frac{n}{p}\frac{n}{p}$

也就是：

$\sum_{t=1}^{n}\mu(t)\sum_{p=1}^{\frac{n}{t}}\frac{n}{pt}\sum_{q=1}^{\frac{n}{t}}\frac{n}{qt}$

设$f(n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i}$，那么后面就可以变成$\sum_{t=1}^{n}\mu(t)f(\frac{n}{t})^{2}$

求$f$可以数论分块，用杜教筛筛出$\mu$的前缀和之后再套个数论分块即可

代码：

#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <queue>

#include <stack>

#include <map>

#define ll long long

using namespace std;

const ll mode=1000000007;

map <ll,ll> S;

int mu[10000005];

ll s[10000005];

int pri[10000005];

int cnt=0;

bool used[10000005];

void init()

{

    mu[1]=s[1]=1;

    for(int i=2;i<=10000000;i++)

    {

        if(!used[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;

        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=10000000;j++)

        {

            used[i*pri[j]]=1;

            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}

            mu[i*pri[j]]=-mu[i];

        }

        s[i]=(s[i-1]+mu[i]+mode)%mode;

    }

}

ll get_S(ll x)

{

    if(x<=10000000)return s[x];

    else if(S.find(x)!=S.end())return S[x];

    ll ret=0;

    int las=0;

    for(int i=2;i<=x;i=las+1)

    {

        las=x/(x/i);

        ll temp=get_S(x/i);

        ret=(ret+temp*(las-i+1)+mode)%mode;

    }

    ret=(1+mode-ret)%mode;

    return S[x]=ret;

}

ll get_sum(ll x)

{

    ll las=0,ret=0;

    for(int i=1;i<=x;i=las+1)

    {

        las=x/(x/i);

        ret+=(las-i+1)*(x/i)%mode;

        ret%=mode;

    }

    return ret*ret%mode;

}

ll solve(ll n)

{

    ll las=0,ret=0;

    for(int i=1;i<=n;i=las+1)

    {

        las=n/(n/i);

        ret+=(get_S(las)-get_S(i-1)+mode)%mode*get_sum(n/i)%mode;

        ret%=mode;

    }

    return ret;

}

int main()

{

    init();

    ll n;

    scanf("%lld",&n);

    printf("%lld\n",solve(n));

    return 0;

}

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