青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

 

这是一道经典的解同余方程的题;

首先我来回顾下欧几里德的几个定理,有助于理解这道题;

   定理一:如果d = gcd(a, b),则必能找到正的或负的整数k和l,使 d = a*x+ b*y。

   定理二:若gcd(a, b) = 1,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

   定理三:若gcd(a, b) = d,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

  证明:上述同余方程等价于ax + by = c,如果有解,两边同除以d,就有a/d * x + b/d * y = c/d,即a/d * x ≡ c/d (mod b/d),显然gcd(a/d, b/d) = 1,所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解,即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

  如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X,那么令m = b/gcd(a, b),可知x在[0, r-1]上有唯一解,所以用x = (X % m + m) %m就可以求出最小非负整数解x了!(X % m可能是负值,此时保持在[-(m-1), 0]内,正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2m-1]内,所以再模一下r就在[0, m-1]内了)。

  那么什么时候无解呢?仔细想想.......那就是: c=k*d =[ a*x+ b*y ]*k      So 当c是d=gcd(a,b)的约数时候,就有唯一解!

思路:

两只青蛙跳一次所花费的时间相同,我们设其为t,则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离,y+nt是B走的距离,

要想碰面,则他们相减一定是地面周长的整数倍,设为k*L;

则:(x+mt)-(y+nt)=kl; 变形得:(n-m)t-(x-y)=kL;即有(n-m)t mod L=x-y;为线性同余方程。

此方程有解当且仅当x-y是n-m和L的最小公倍数的约数(记为gcd(n-m,L)),即

(x-y)%gcd(n-m,L)==0。这时,如果x0是方程的一个解,即当t=x0时,(n-m)t mod L=x-y成立,那么所有的解可以表示为:

{x0+k(L/gcd(m-n,L))|(k∈整数)}。

//即:ax+bx=c; d=gcd(a,b); 那么a*(x0+k*(b/d))+b*(y0-k*(a/d))=c

转载请注明出处:寻找&星空の孩子  

题目链接:http://poj.org/problem?id=1061

#include<stdio.h>
#define LL __int64 void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
if(!b)d=a,x=,y=;
else
{
exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
if(!b) return a;
else
gcd(b,a%b);
}
int main()
{
LL xx,yy,m,n,l;
while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&xx,&yy,&m,&n,&l)!=EOF)
{
LL d,x,y; LL aa,bb,cc,mm;
aa=n-m;
bb=l;
cc=xx-yy; exgcd(aa,bb,d,x,y);
// printf("%I64d %I64d %I64d\n",d,x,y);
if(cc%d) printf("Impossible\n");
else
{
x=x*(cc/d);
mm=bb/d;
x=(x%mm+mm)%mm;
printf("%I64d\n",x);
} }
return ;
}
 

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