代码随想录算法训练营

代码随想录算法训练营Day53 动态规划|● 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和动态规划

1143.最长公共子序列

题目链接：1143.最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

示例 2: 输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。

示例 3: 输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

1 <= text1.length <= 1000
1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

总体思路

本题和动态规划：718. 最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

继续动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？

这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以，我在动态规划：718. 最长重复子数组中的「拓展」里详细讲解了区别所在，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。
确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {

    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

} else {

    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

}

dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0; 同理dp[0][j]`也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

代码：

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
举例推导dp数组

以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：

最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果.

class Solution {

public:

    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {

        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {

            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {

                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {

                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

                } else {

                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

                }

            }

        }

        return dp[text1.size()][text2.size()];

    }

};

1035.不相交的线

题目链接：1035.不相交的线

我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。

现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

总体思路

绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：

其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目动态规划：1143.最长公共子序列就是一样一样的了。

一样到什么程度呢？把字符串名字改一下，其他代码都不用改，直接copy过来就行了。

class Solution {

public:

    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {

        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));

        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {

            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {

                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {

                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

                } else {

                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

                }

            }

        }

        return dp[A.size()][B.size()];

    }

};

53. 最大子序和动态规划

题目链接：53. 最大子序和动态规划

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

总体思路

这道题之前在讲解贪心专题的时候用贪心算法解决过一次，贪心算法：最大子序和

这次我们用动态规划的思路再来分析一次。

动规五部曲如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

class Solution {

public:

    int maxSubArray(vector<int>& nums) {

        if (nums.size() == 0) return 0;

        vector<int> dp(nums.size());

        dp[0] = nums[0];

        int result = dp[0];

        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {

            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式

            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值

        }

        return result;

    }

};