# 卡特兰

### The1st q-analogue of $$C_n$$

$\sum_{\pi \in L_{n, n}^{+}} q^{\operatorname{maj}(\sigma(\pi))}=\frac{1}{[n+1]}\left[\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right]$

maj分别是0，3，4，2，6

\begin{aligned} q^0+q^3+q^4+q^2+q^6 &=\frac{1}{1+q+q^2+q^3}\cdot\frac{(1-q^6)(1-q^5)(1-q^4)}{(1-q^3)(1-q^2)(1-q^1)} \\ &=\frac{1}{1+q+q^2+q^3}\cdot(1+q^2)(1+q^3)(1+q+q^2+q^3+q^4) \\ &=\frac{1}{1+q+q^2+q^3}\cdot(1+q+2q^2+3q^3+3q^4+3q^5+3q^6+2q^7+q^8+q^9) \\ &=1+q^2+q^3+q^4+q^6 \end{aligned}

### The 2nd q-analogue of $$C_n$$ /定义$$C_n(q)$$

$C_{n}(q)=\sum_{k=1}^{n} q^{k-1} C_{k-1}(q) C_{n-k}(q), \quad n \geq 1$

# The q-Vandermonde convolution/q-范特蒙德卷积

### 这么定义the basic 超几何级数

$p+1 \phi_{p}\left(\begin{array}{ccc} a_{1}, & a_{2}, & \ldots, & a_{p+1} \\ & b_{1}, & \ldots, & b_{p} \end{array} ; q ; z\right)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(a_{1}\right)_{k} \cdots\left(a_{p+1}\right)_{k}}{(q)_{k}\left(b_{1}\right)_{k} \cdots\left(b_{p}\right)_{k}} z^{k}$

### Cauchy's q-binomial theorem

${ }_{1} \phi_{0}\left(\begin{array}{ll} a & \\ - & \end{array} ; q ; z\right)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a)_{k}}{(q)_{k}} z^{k}=\frac{(a z)_{\infty}}{(z)_{\infty}}, \quad|z|<1,|q|<1$

where,

$(a ; q)_{\infty}=(a)_{\infty}=\prod_{i=0}^{\infty}\left(1-a q^{i}\right)$

### 推论11.2.11 The q-binomial theorem

$\sum_{k=0}^{n} q^{\left(\begin{array}{c} k \\ 2 \end{array}\right)}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right] z^{k}=(-z ; q)_{n}$
$\sum_{k=0}^{\infty}\left[\begin{array}{c} n+k \\ k \end{array}\right] z^{k}=\frac{1}{(z ; q)_{n+1}}$

### 推论 11.2.12

$\sum_{k=0}^{h} q^{(n-k)(h-k)}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} m \\ h-k \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} m+n \\ h \end{array}\right] \text { holds. }$

### 推论11.2.13

$\sum_{k=0}^{h} q^{(m+1) k}\left[\begin{array}{c} n-1+k \\ k \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} m+h-k \\ h-k \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} m+n+h \\ h \end{array}\right]$

### The q-Vandermonde convolution

。。。这个为什么是拿超几何级数来写的。。。。

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