模拟又炸了,我死亡

$exgcd$(扩展欧几里德算法)用于求$ax+by=gcd(a,b)$中$x,y$的一组解,
它有很多应用,比如解二元不定方程、求逆元等等,
这里详细讲解一下$exgcd$的原理。

了解$exgcd$算法前,需要$gcd$算法做铺垫。gcd,又称辗转相除法,用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数。

$gcd$函数的基本性质:

$gcd(a,b)=gcd(b,a) $

$gcd(a,b)=gcd(-a,b) $

$gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)$

$gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$

证明一下第四条:

设$k$为整数

设$gcd(a,b) = d$

$a$ $mod$ $b=a-kb$,$k = a/b$

因为$a$ $mod$ $d=0,b$ $mod$ $d=0$

所以$kb$ $mod$ $d=0$,

$a-kb$ $mod$ $d=0$

即$(a$ $mod$ $b)$ $mod$ $d=0$

int gcd(int a,int b){
if(b == ){
return a;
}
return gcd(b,a%b);
}

  gcd  

理解了$gcd$,再来证明为什么$exgcd$可以求出$ax+by=gcd(a,b)$的$x,y$。

当$b=0$时,$gcd(a,b) = a$,$ax+by$ 即 $a*1 + 0*0 = gcd(a,b)$;

$x=1,y=0$(因为$b = 0$,$y$的值其实不重要,这里就写成$0$)

因为$gcd(a,b) =  ax+by$,$gcd(b,a$ $mod$ $b) = ax'+ by'$,

每次递归时,$gcd(a,b) = gcd(b,a$ $mod$ $b)$,所以$ax+by = ax'+ by'$,

并且已知 $a%b = a-(a/b)*b$,那么可以得到

$ax'+ by'$

$= bx + (a$ $mod$ $b)y $

$= bx + (a-a/b*b)y $

$= bx + ay - (a/b)*by $

$= ay + b(x-(a/b)*y) $

$x'=y$; $y'=x-(a/b)*y $

int exgcd(int a,int b,int &x, int &y) {
if(b == ) {
x=,y=;
return a;
}
int ans = exgcd(b,a%b,x,y);
int tx = x;
x = y;
y = tx-a/b*y;
return ans;
}

  exgcd  

明白了$exgcd$的原理,思考它如何求解形如$ax+by=c$的不定方程。

设$k$为整数,

设$c=k*gcd(a,b)$

$ax+by=gcd(a,b)$,

两边同乘$k$,得

$k*ax+k*by=k*gcd(a,b)=c$

所以$c$一定为$gcd(a,b)$的倍数。若$c$ $mod$ $gcd(a,b) ≠ 0$,则方程无整数解。

此时的$x'=kx=c/gcd(a.b)*x$。

可以发现,$ax+by=c$ (x∈Z*,y∈Z*)  成立的充要条件是$gcd(a,b)|c$。这个定理叫做裴蜀定理
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std; int n,x,sum; int gcd(int a,int b) {
if(!b) return a;
return gcd(b,a%b);
} int main() {
scanf("%d",&n);
sum = ;
for(int i = ; i <= n; i++) {
scanf("%d",&x);
if(x < ) x = -x;
sum = gcd(sum,x);
}
printf("%d",sum);
return ;
}

裴蜀定理

那么,怎么保证x是最小正整数呢?

设$k$为整数,   

   $ax+by$

  $= ax + by + k*ab - k*ab$

  $= a(x+kb) + b(y-ka)$

也就是说,当$x$改变$b$的整数倍时,原式的值可以保持不变;

那么最小正整数即为$x$ $mod$ $b$;

但是要考虑$x$为负数的情况,就要先将$x$加上$b$,直到$x$为正数,再取模,可以得到$x = (x$ $mod$ $b+b)$ $mod$ $b$

综上所述,

$x=(x*c/gcd(a,b)$ $mod$ $b+b)$ $mod$ $b$

int exgcd(int a,int b,int &x, int &y) {
if(b == ) {
x=,y=;
return a;
}
int ans = exgcd(b,a%b,x,y);
int tx = x;
x = y;
y = tx-a/b*y;
return ans;
} int main() {
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a<) {
a = -a;
c = -c;
}
exgcd(a,b,x,y);
if(c%ans!=)
printf("Impossible");
else
printf("%d",(x*(c/ans))%(b/ans)+(b/ans))%(b/ans));
return ;
}

  解二元不定方程 

模板题:Luogu P1516 青蛙的约会

设跳了$X$次,

由题意得,$m*X+x=n*X+y$ $(mod$ $l)$

$(m-n)*X=y-x$ $(mod$ $l)$

$(m-n)*X-l*Y=y-x$

令$m-n=a$,$l=b$,$y-x=c$,$Y=-Y$

则有$aX+bY=c$

注意负数的情况:若$m-n<0$,则变成了前面的追后面的

$a=n-m$,$c=(x+l-y)$ $mod$ $l=x-y$

即$a=-a,c=-c$

#include<cstdio>
#define int long long
int x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp; int exgcd(int a,int b,int &x, int &y) {
if(b == ) {
x=,y=;
return a;
}
int ans = exgcd(b,a%b,x,y);
int tx = x;
x = y;
y = tx-a/b*y;
return ans;
} main() {
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
a=n-m;
b=l;
c=x-y;
if(a<)
a=-a,c=-c;
int g = exgcd(a,b,x0,y0);
if(c%g!=)
printf("Impossible");
else
printf("%lld",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g));
}
												




											

Re:Exgcd解二元不定方程的更多相关文章

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