【BZOJ1009】GT考试(KMP算法,矩阵快速幂,动态规划)

题面

BZOJ

题解

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化简一下题意

长度为\(n\)的,由\(0~9\)组成的字符串中

不含串\(s\)的串的数量有几个

很显然,如果组成的字符串和\(s\)串做\(KMP\)的匹配的话

是不能匹配到最后一位的

所以,我们想到一个很显然的方程

\(f[i][j]\)表示当前做了第\(i\)位,在\(s\)串中匹配到了第\(j\)位

每次枚举下一位放的数字

以及每一位的位置

相当于做\(KMP\)的匹配

然后进行转移

所以,我们可以写出一个暴力

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int f[2000][30];
int nt[30],n,m,K;
char s[30];
void Get_Next(char *s)
{
int l=strlen(s+1);
nt[1]=0;
for(int i=2;i<=l;++i)
{
int t=nt[i-1];
while(t&&s[i]!=s[t+1])t=nt[t];
if(s[i]==s[t+1])t+=1;
nt[i]=t;
}
}
int main()
{
n=read();m=read();K=read();
scanf("%s",s+1);
Get_Next(s);
f[0][0]=1;
for(int i=0;i<n;++i)
{
for(int j='0';j<='9';++j)
{
for(int k=0;k<m;++k)
{
int t=k;
while(t&&s[t+1]!=j)t=nt[t];
if(j==s[t+1])t++;
(f[i+1][t]+=f[i][k])%=K;
}
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<m;++i)ans+=f[n][i];
printf("%d\n",ans%K);
return 0;
}

\(n\)的范围有\(10^9\)

不可能是\(O(n)\)解了

我们发现每次匹配的转移关系是一定的

所以可以用矩阵快速幂来优化\(dp\)转移

复杂度为\(O(n+m^3logn)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int nt[30],n,m,K;
char s[30];
void Get_Next(char *s)
{
int l=strlen(s+1);
nt[1]=0;
for(int i=2;i<=l;++i)
{
int t=nt[i-1];
while(t&&s[i]!=s[t+1])t=nt[t];
if(s[i]==s[t+1])t+=1;
nt[i]=t;
}
}
struct Dalao
{
int s[30][30];
void init()
{
memset(s,0,sizeof(s));
for(int i=0;i<m;++i)s[i][i]=1;
}
void clear(){memset(s,0,sizeof(s));}
}G;
Dalao operator*(Dalao a,Dalao b)
{
Dalao ret;ret.clear();
for(int i=0;i<m;++i)
for(int j=0;j<m;++j)
for(int k=0;k<m;++k)
(ret.s[i][j]+=a.s[i][k]*b.s[k][j]%K)%=K;
return ret;
}
Dalao fpow(Dalao a,int b)
{
Dalao s;s.init();
while(b){if(b&1)s=s*a;a=a*a;b>>=1;}
return s;
}
int main()
{
n=read();m=read();K=read();
scanf("%s",s+1);
Get_Next(s);
for(int j='0';j<='9';++j)
{
for(int k=0;k<m;++k)
{
int t=k;
while(t&&s[t+1]!=j)t=nt[t];
if(j==s[t+1])t++;
G.s[k][t]++;
}
}
G=fpow(G,n);
int ans=0;
for(int i=0;i<m;++i)ans=(ans+G.s[0][i])%K;
printf("%d\n",ans%K);
return 0;
}

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