描述


http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1005

一棵树有n个点,给出没给节点的度,如果没有限制则为-1,求共有多少种可能的树.

分析


蒟蒻我肯定是不会做的,所以先来抄一段题解...


这题需要了解一种数列: Purfer Sequence

我们知道,一棵树可以用括号序列来表示,但是,一棵顶点标号(1~n)的树,还可以用一个叫做 Purfer Sequence 的数列表示

一个含有 n 个节点的 Purfer Sequence 有 n-2 个数,Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数

一个定理:一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应

先看看怎么由一个树得到 Purfer Sequence

由 一棵树得到它的 Purfer Sequence 总共需要 n-2 步,每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点(度为 1),将与其相连的点的标号设为 Purfer Sequence 的第 i 个元素,并将此叶子节点从树中删除,直到最后得到一个长度为 n-2 的 Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树

看看下面的例子:

假设有一颗树有 5 个节点,四条边依次为:(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5),如下图所示:

第 1 步,选取具有最小标号的叶子节点 3,将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number,并从树中删掉节点 3:

第 2 步,选取最小标号的叶子节点 1,将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number,并从树中删掉点 1:

第 3 步,选取最小标号的叶子节点 4,将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number,并从树中删掉点 4:

最后,我们得到的 Purfer Sequence 为:1 2 2

不难看出,上面的步骤得到的 Purfer Sequence 具有唯一性,也就是说,一个树,只能得到一个唯一的 Purfer Sequence

接下来看,怎么由一个 Purfer Sequence 得到一个树

由 Purfer Sequence 得到一棵树,先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1,然后加上它在 Purfer Sequence 中出现的次数,得到每个点的度

先执行 n-2 步,每一步,选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与 Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连,得到树中的一条边,并将 u 和 v 的度减一

最后再把剩下的两个度为 1 的点连边,加入到树中

我们可以根据上面的例子得到的 Purfer Sequence :1 2 2 重新得到一棵树

Purfer Sequence 中共有 3 个数,可以知道,它表示的树中共有 5 个点,按照上面的方法计算他们的度为下表所示:

顶点 1 2 3 4 5
2 3 1 1 1

第 1 次执行,选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边:

将 1 和 3 的度分别减一:

顶点 1 2 3 4 5
1 3 0 1 1

第 2 次执行,选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边:

将 1 和 2 的度分别减一:

顶点 1 2 3 4 5
0 2 0 1 1

第 3 次执行,将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边:

将 2 和 4 的度分别减一:

顶点 1 2 3 4 5
0 1 0 0 1

最后,还剩下两个点 2 和 5 的度为 1,连边:

至此,一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了,由上面的步骤可知,Purfer Sequence 和一个树唯一对应

综上,一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应

那么其数只要求出来合法的purfer sequence的数量就是生成树的数量。

将树转化为prufer编码:

n为树的节点数,d[i]为各节点的度数,(注意计算tot的时候只计算d[i]!=-1的数)m为无限制度数的节点数。

则            
所以要求在n-2大小的数组中插入tot各序号,共有种插法;
在tot各序号排列中,插第一个节点的方法有种插法; 
 插第二个节点的方法有种插法;………
另外还有m各节点无度数限制,所以它们可任意排列在剩余的n-2-tot的空间中,排列方法总数为
 
根据乘法原理:
 
 
然后就要高精度了…..但高精度除法太麻烦了,显而易见的排列组合一定是整数,所以可以进行质因数分解,再做一下相加减。

基本上知道什么是purfer_sequence这道题就没问题了.然后就是组合数学的推导.由于要用高精度,除法不太方便,我是直接暴力分解因数,然后坐指数相加减...最后来一发快速幂.

p.s.

1.按理来说应该要特判无解的情况,但是没有特判也A了...

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int maxn=+,maxl=,base=;
int n,cnt,sum;
int s[maxn],c[maxn];
typedef long long ll; struct Bign{
int cnt; ll x[maxl];
Bign(int t=){
memset(x,,sizeof x);
x[cnt=]=t;
}
ll & operator [](int id){ return x[id]; }
}ans();
Bign operator *= (Bign &x,Bign &y){
Bign z;
for(int i=;i<=x.cnt;i++)for(int j=;j<=y.cnt;j++)
z[i+j-]+=x[i]*y[j], z[i+j]+=z[i+j-]/base, z[i+j-]%=base;
z.cnt=x.cnt+y.cnt;
if(!z[z.cnt]) z.cnt--;
x=z;
}
ostream & operator << (ostream &out,Bign &x){
printf("%lld",x[x.cnt]);
for(int i=x.cnt-;i;i--) printf("%08lld",x[i]);
return out;
}
void decomposition(int x,int y){
for(int i=;i*i<=x;i++)while(x%i==) c[i]+=y, x/=i;
if(x^) c[x]+=y;
}
void quick_power(int i,int y){
Bign x(i);
for(;y;x*=x, y>>=) if(y&) ans*=x;
}
int main(){
freopen("bzoj_1005.in","r",stdin);
freopen("bzoj_1005.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++){
int t; scanf("%d",&t);
if(t>) s[++cnt]=t-, sum+=t-;
}
for(int i=;i<=n-;i++) decomposition(i,);
for(int i=;i<=cnt;i++)for(int j=;j<=s[i];j++) decomposition(j,-);
for(int i=;i<=n--sum;i++) decomposition(i,-);
decomposition(n-cnt,n--sum);
for(int i=;i<=n;i++)if(c[i]) quick_power(i,c[i]);
cout<<ans<<endl;
return ;
}

1005: [HNOI2008]明明的烦恼

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 3980  Solved: 1583
[Submit][Status][Discuss]

Description

  自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在
任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

  第一行为N(0 < N < = 1000),
接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

  一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

HINT

  两棵树分别为1-2-3;1-3-2

Source

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