状压dp专题复习

(有些题过于水,我直接跳了)

技巧总结 :

1.矩阵状压上一行的选择情况 \(n * 2^n\)

D [BZOJ2734][HNOI2012]集合选数

蒻得不行的我觉得这是一道比较难的题,以至于我卡了很久

可以看出,所有会互相直接造成影响的数之间构成一张\(DAG\),边就是\(i->i*2,i->i*3\)

取出每一个连通块之后,就是一个独立集个数的问题

\(DAG\)还可以求独立集?

我们其实可以惊人得发现,这张\(DAG\)过于整齐,就是一个网格图,就是一张网格图上相邻的点不能取的问题

这个,状压矩阵即可


const int N=1e5+10,P=1e9+1; int n;
ll dp[20][1<<11];
int A[20]; ll Solve(int i){
int t=0;
A[0]=0;
dp[0][0]=1;
for(;i<=n;i*=2) {//网格图的列数
t++;
A[t]=0;
int c=0;
for(int j=i;j<=n;j*=3) A[t]|=1<<(c++); //取出网格图这一行的大小
rep(j,0,A[t]) dp[t][j]=0;
rep(S1,0,A[t-1]) {
int fl=1;
rep(j,0,c+1) if((S1&(1<<j)) && (S1&(1<<(j+1)))) fl=0;
if(!fl) continue;
int R=A[t]^(S1&A[t]);
for(reg int S2=R;;S2=(S2-1)&R) {
int fl=1;
rep(j,0,c-1) if((S2&(1<<j)) && (S2&(1<<(j+1)))) fl=0;
if(!fl) {
if(!S2) break;
continue;
}
(dp[t][S2]+=dp[t-1][S1])%=P;
if(!S2) break;
}
}
}
ll res=0;
rep(i,0,A[t]) res+=dp[t][i];
res%=P;
return res;
} int main(){
n=rd();
ll ans=1;
rep(i,1,n) {
if(i%2==0||i%3==0) continue;
//这是一个联通块
ans=ans*Solve(i)%P;
}
printf("%lld\n",ans);
}

\[\
\]

\[\
\]

G [BZOJ1097] [POI2007]旅游景点atr

预处理前面k个点之间的dis,然后就像是一个TSP一样,但是有限制

int d[30][30];
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; #define reg register
//typedef long long ll;
typedef int ll;
#define rep(i,a,b) for(reg int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(reg int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i) char IO; int rd(){
int s=0,f=0;
while(!isdigit(IO=getchar())) if(IO=='-') f=1;
do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
while(isdigit(IO=getchar()));
return f?-s:s;
} const int N=20010,M=2e5+10; #pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(2)
#define chk(a,b) ((a>b)&&(a=b)) int n,m,k; ll dis[N]; struct Node{
int x;
ll d;
int operator < (const Node __) const{
return x<__.x;
}
};
vector <Node> G[N]; int s[N<<2]; int pos[N]; inline void push(reg int x) {
int p=pos[x];
while(p>1) {
p>>=1;
if(dis[s[p<<1]]<dis[s[p<<1|1]]) s[p]=s[p<<1];
else s[p]=s[p<<1|1];
}
} inline int top(){
reg int x=s[1];
s[pos[x]]=0;
push(x);
return x;
} void Build(int p,int l,int r) {
if(l==r) {
pos[l]=p;
return;
}
reg int mid=(l+r)>>1;
Build(p<<1,l,mid);
Build(p<<1|1,mid+1,r);
}
//用线段树实现堆的功能 void GetDis(int st,int R) {
memset(dis,63,sizeof dis); dis[st]=0;
for(reg int i=1;i<=n;++i) s[pos[i]]=i;
push(st);
int cnt=0;
while(dis[s[1]]<=1e9) {
reg int u=top();
if(u<=R && (++cnt>=R) ) return;
rep(i,0,G[u].size()-1) {
int v=G[u][i].x,w=G[u][i].d;
if(dis[v]<=dis[u]+w) continue;
dis[v]=dis[u]+w;
push(v);
}
}
} int fa[35];
int dp[1<<20][22];
int Log[1<<21]; int tmp[35]; int main(){
n=rd(),m=rd();
k=rd()+1;
rep(i,0,21) Log[1<<i]=i;
rep(i,1,m) {
int u=rd(),v=rd(),w=rd();
G[u].push_back((Node){v,w});
G[v].push_back((Node){u,w});
}
int q=rd();
rep(i,1,q) {
int u=rd(),v=rd();
fa[v]|=1<<(u-2);
}
Build(1,1,n);
rep(i,1,k) {
GetDis(i,k);
rep(j,1,k) d[i][j]=dis[j];
}
GetDis(n,n);
int A=(1<<(k-1))-1;
memset(dp,63,sizeof dp);
dp[0][1]=0;
for(reg int S=0;S<A;++S) {
reg int T=S;
int cnt=0;
rep(j,0,k-2) if(~S&(1<<j)) if((fa[j+2]&S)==fa[j+2]) tmp[++cnt]=j+2;
while(T) {
reg int i=Log[T&-T]+2;
T&=T-1;
if(dp[S][i]>1e9) continue;
rep(k,1,cnt) {
int j=tmp[k];
reg int NS=S|(1<<(j-2));
chk(dp[NS][j],dp[S][i]+d[i][j]);
}
}
do {
reg int i=1;
if(dp[S][i]>1e9) continue;
rep(k,1,cnt) {
int j=tmp[k];
reg int NS=S|(1<<(j-2));
chk(dp[NS][j],dp[S][i]+d[i][j]);
}
} while(0);
}
ll ans=1e9;
rep(i,1,k) ans=min(ans,dp[A][i]+dis[i]);
printf("%d\n",ans);
}

\[\
\]

\[\
\]

H [BZOJ2004] [Hnoi2010]Bus 公交线路

\(n\)都\(10^9\)了,还不矩阵吗?

\(dp[S]\)表示前\(p\)位哪些点放了车,不过状态显然保证\(popcount(S)==k\)

然后由于状态最多其实是\(C_{10}^{5}=252\)所以可以跑矩阵


bool be; int n,p,k; int dp[1<<10];
int cnt[1<<10];
int tmp[1<<10];
int A; int st[300],sc,id[1<<10];
int f[1][300],ans[1][300]; int B; struct Mat{
int a[300][300];
void init(){ memset(a,0,sizeof a); }
void Get1(){ rep(i,1,sc) a[i][i]=1; }
Mat operator * (const Mat x) const {
Mat res;
for(reg int i=1;i<=sc;++i) {
for(reg int j=1;j<=sc;++j) {
ll t=0;
for(reg int o=1;o<=sc;++o) t+=a[i][o]*x.a[o][j];
res.a[i][j]=t%P;
}
}
return res;
}
}res,x; void Solve(){
A=(1<<p)-1;
rep(i,1,A) cnt[i]=cnt[i&(i-1)]+1;
rep(S,0,A) if(cnt[S]==k) ++sc,id[st[sc]=S]=sc;
rep(S,0,A) if(cnt[S]==k) {
if(S&1) {
x.a[id[S]][id[(S>>1)|(1<<(p-1))]]++;
} else {
rep(i,0,p-1) if(S&(1<<i)) {
int NS=((S^(1<<i))>>1)|(1<<(p-1));
x.a[id[S]][id[NS]]++;
}
}
}
int T=0;
for(reg int j=p-1;j>=p-k;j--) T|=1<<j;
f[0][id[T]]=1;
res.Get1();
n-=k;
int t=n;
while(t) {
if(t&1) res=res*x;
x=x*x;
t>>=1;
}
rep(i,0,0) rep(j,1,sc) rep(o,1,sc) (ans[i][o]+=f[i][j]*res.a[j][o])%=P;
T=0;
rep(j,p-k,p-1) T|=1<<j;
printf("%d\n",ans[0][id[T]]);
} bool ed; int main(){
//printf("%.2lf\n",(&ed-&be)/1024.0/1024.0);
n=rd(),k=rd(),p=rd();
Solve();
}

\[\
\]

\[\
\]

L [BZOJ3195] [Jxoi2012]奇怪的道路

题目限定了距离,所以直接dp选了几条边,之前的点每个点的边数是不是奇数

 

const int N=80,P=1000000007;

int n,m,k;

ll dp[31][1<<8][31];
ll C[N][N]; int main(){
n=rd(),m=rd(),k=rd();
k=min(k,n);
C[0][0]=1;
rep(i,1,N-1) {
C[i][0]=1;
rep(j,1,N-1) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
}
dp[0][0][0]=1;
rep(i,1,k-1) {
int A=(1<<i)-1;
rep(S,0,A) {
int t=0;
rep(j,0,i-1) if(S&(1<<j)) t++;
rep(R,0,A) {
int NS=(S^R)|((t&1)<<i);
rep(j,0,m) {
for(reg int d=j+t;d<=m;d+=2) {
(dp[i][NS][d]+=C[(d-j-t)/2+i-1][i-1]*dp[i-1][R][j]%P)%=P;
}
}
}
}
}
int A=(1<<k)-1;
rep(i,k,n-1) {
rep(S,0,A) {
int t=0;
rep(j,0,k-1) if(S&(1<<j)) t++;
rep(R,0,A) if((R&1)==(S&1)) {
int NS=((S^R)>>1)|((t&1)<<(k-1));
rep(j,0,m) {
for(reg int d=j+t;d<=m;d+=2) {
(dp[i][NS][d]+=C[(d-j-t)/2+k-1][k-1]*dp[i-1][R][j]%P)%=P;
}
}
}
}
}
ll ans=dp[n-1][0][m];
printf("%lld\n",ans);
}

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