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THE q-SERIES IN COMBINATORICS;
PERMUTATION STATISTICS
(Preliminary version)
August 17, 2004
Dominique Foata and Guo-Niu Han

# 引言

q-analog学习资源，推荐！！相当于q-模拟词条 https://www.math.upenn.edu/~peal/polynomials/q-analogues.htm

# 例子

### 逆序对研究和q-factorial

$\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} \cdots[1]_{q}=:[n]_{q} !$
$lim_{q\to1}[n]_q!=|S_n|$

### q-binomial

$\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[k]_{q} ![n-k]_{q} !}$
$\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)$

$\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}= \left[\begin{array}{l} \ \ \ n \\ n-k \end{array}\right]_{q}$

q-binomial的Pascal恒等式是

$\left[\begin{array}{l} m \\ r \end{array}\right]_{q}=q^{r}\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r \end{array}\right]_{q}+\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r-1 \end{array}\right]_{q}$

$\left[\begin{array}{c} m \\ r \end{array}\right]_{q}=\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r \end{array}\right]_{q}+q^{m-r}\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r-1 \end{array}\right]_{q}$

### q-multinomial

$\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[m_1]_{q} ![m_2]_{q} !...[m_k]_{q} !}$
$\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right)$

### q-exponential

$e_{q}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q} !}$

# q-模拟的一些性质

### q-二项式定理

$\sum_{k=0}^{n} q^{\tbinom{k }{2}}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}x^{k}=\prod_{i=0}^{n-1}\left(1+x q^{i}\right)$

### q-Vandermorde定理

$\left[\begin{array}{c} m+n \\ k \end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{k} q^{(m-i)(k-i)}\left[\begin{array}{c} m \\ i \end{array}\right]_q\left[\begin{array}{c} n \\ k-i \end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N}$

### q-朱世杰恒等式

$\left[\begin{array}{c} m+n+1 \\ n+1 \end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{m} q^{i}\left[\begin{array}{c} n+i \\ n \end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N}$

# 例题

### n-排列中的inversion和major index

$\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} !$

### q-multinomial

$\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}$

### Catalan数

$\sum_{\pi \in W_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\frac{1}{[n+1]_q} \left[\begin{array}{c} 2n \\ n \end{array}\right]_q$

$q^0+q^2=\frac{1}{1+q+q^2}\cdot \frac{\left(1-q^{4}\right)\left(1-q^{3}\right)}{(1-q)\left(1-q^{2}\right)} =\frac{1}{1+q+q^2}\cdot \left(1+q^{2}\right)\left(1+q+q^{2}\right) =1+q^2$

### 降位数

Eulerian多项式定义

$E_n(q)=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{1+\mathrm{des}(\pi)}=\sum_{k=1}^{n}{a_{n,k}q^k}$

$E_3(q)=q^1+4q^2+q^3$

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