【BZOJ4827】【HNOI2017】礼物(FFT)

题面

Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了,他决定买一对情侣手 环,一个留给自己,一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物,并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天,我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环,而且已经没时间去更换它了!他只能使用一种特殊的方法,将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c(即非负整数)。并且由于这个手环是一个圆,可以以任意的角度旋转它,

但是由于上面 装饰物的方向是固定的,所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后,使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后,从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n,

其中 n 为每个手环的装饰物个数,第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi,第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi,两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释): \(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\)麻烦你帮他

计算一下,进行调整(亮度改造和旋转),使得两个手环之间的差异值最小, 这个最小值是多少呢?

Input

输入数据的第一行有两个数n, m,代表每条手环的装饰物的数量为n,每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行,每行各有n个数,分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

\(1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m\)

Output

输出一个数,表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后,装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

Sample Output

1

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1,第一个手环的亮度变为: 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例,是将第

二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页,共 6 页 一个位置,使得第二手环的最终的亮度为

:3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

题解

太神奇了,我果然菜爆

首先把公式写成

\[\sum_{i=1}^n(x_i-y_{i+k}+C)^2
\]

其中C是亮度的增加值(一个增加相当于另一个减小,所以\(C\in[-m,m]\))

拆开之后,有一些常数项,两个带\(C\)的项,以及一个\(-2\sum_{i=1}^n x_iy_{i+k}\)

显然,现在问题变成了求\(\sum x_i y_{i+k}\)的最大值

然后我就只会\(O(n^2)\)了。。。

题解告诉我们,看到这样的式子,往FFT上面靠

我们把其中一个数列反过来再在后面接一遍

这样子的话,两个数列当做多项式做卷积

手玩之后发现,\(\sum x_i y_{i+k}\)就是卷积\(x^{(n+k-1)}\)项的系数

然后,\(m<=100\),暴力枚举一下m就可以求解了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<complex>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
#define MAX 2000000
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int N,M,r[MAX],l,n,m;
int s1[MAX],s2[MAX],S[MAX],ans=1e9;
complex<double> a[MAX],b[MAX];
void FFT(complex<double> *P,int opt)
{
for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
for(int i=1;i<N;i<<=1)
{
complex<double> W(cos(Pi/i),opt*sin(Pi/i));
for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
{
complex<double> w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w*=W)
{
complex<double> X=P[j+k],Y=w*P[j+k+i];
P[j+k]=X+Y;P[j+k+i]=X-Y;
}
}
}
}
void Pre()
{
N=n-1;M=n+n-1;
for(int i=0;i<=N;++i)a[i]=s1[i+1];
for(int i=0;i<n;++i)b[i]=s2[n-i];
for(int i=0;i<n;++i)b[i+n]=b[i];
M+=N;
for(N=1;N<=M;N<<=1)++l;
for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(a,1);FFT(b,1);
for(int i=0;i<N;++i)a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,-1);
for(int i=0;i<=M;++i)S[i]=(int)(a[i].real()/N+0.5);
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;++i)s1[i]=read();
for(int i=1;i<=n;++i)s2[i]=read();
Pre();
int p1=0,p2=0,t1=0,t2=0,gg=-1e9;
for(int i=1;i<=n;++i)p1+=s1[i]*s1[i],p2+=s2[i]*s2[i],t1+=s1[i],t2+=s2[i];
for(int i=n-1;i<n+n;++i)gg=max(gg,S[i]);
for(int C=-m;C<=m;++C)
{
int tot=p1+p2+n*C*C+2*C*(t1-t2)-2*gg;
ans=min(tot,ans);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

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