【学习笔记/题解】树上启发式合并/CF600E Lomsat gelral

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$\text{Solution:}$

树上启发式合并，是对普通暴力的一种优化。

考虑本题，最暴力的做法显然是暴力统计每一次的子树，为了避免其他子树影响，每次统计完子树都需要清空其信息。

但是，如果我们先对非$x$的节点进行统计，最后统计$x$然后合并其他节点的信息，那么，$x$的统计信息就没有必要被删掉。

那么显然地，$x$的子树越大越好。

于是，自然想到轻重链剖分，并将$x$设置为其重儿子。于是，算法模型如下：

对所有非重儿子进行统计并清空其所记录的统计信息。
对重儿子进行统计并保留其信息。
暴力将其他儿子的信息合并到重儿子上，得到当前子树的信息。

根据树链剖分的性质，一个点到根的路径上的轻边条数不超过$\log n$条，而一个节点只有其祖先遇到轻边的时候才会被统计一次。

所以复杂度为$O(n\log n).$

关于这题直接安装上述算法流程进行暴力统计即可。

关于一点对树剖性质的证明：每次经过一条轻边，其子树大小最少会变成原来的一半，所以轻边条数是$O(\log n)$的。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN=3e5+10;

typedef long long ll;

int son[MAXN],head[MAXN],n,tot,siz[MAXN];

int vis[MAXN],cnt[MAXN],col[MAXN],Mx,Son;

vector<int>v[MAXN];

ll sum,ans[MAXN];

void dfs(int x,int fa){

	siz[x]=1;

	for(int i=0;i<v[x].size();++i){

		int j=v[x][i];

		if(j==fa)continue;

		dfs(j,x);siz[x]+=siz[j];

		if(siz[j]>siz[son[x]])son[x]=j;

	}

}

void add(int x,int fa,int val){

	cnt[col[x]]+=val;

	if(cnt[col[x]]>Mx)Mx=cnt[col[x]],sum=col[x];

	else if(cnt[col[x]]==Mx)sum+=col[x]*1ll;

	for(int i=0;i<v[x].size();++i){

		int j=v[x][i];

		if(j==fa||j==Son)continue;

		add(j,x,val);

	}

}

void dfs2(int x,int fa,int opt){

	for(int i=0;i<v[x].size();++i){

		int j=v[x][i];

		if(j==fa)continue;

		if(j!=son[x])dfs2(j,x,0);

	}

	if(son[x])dfs2(son[x],x,1),Son=son[x];

	add(x,fa,1);Son=0;

	ans[x]=sum;

	if(!opt)add(x,fa,-1),sum=Mx=0;

}

int main(){

	scanf("%d",&n);

	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",col+i);

	for(int i=1;i<n;++i){

		int x,y;

		scanf("%d%d",&x,&y);

		v[x].push_back(y);v[y].push_back(x);

	}

	dfs(1,0);dfs2(1,0,0);

	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%I64d ",ans[i]);

	puts("");

	return 0;

}

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