1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

  斜率優化的模式爲:dp[i]=min(a[j]*b[i]+c[j])+d[i]

  符合本題的要求,下面爲dp方程的轉化過程:

//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]
//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]
//
//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i
//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];
//
//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]
//
//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]
//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]
//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]
//令a[j]=psum[j]=x,
// c[j]=f[j]+sum[j]=y
//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])
//最小化dp[i]->下凸包二分

  這個推導過程十分複雜,正負號也容易出錯,一個解決辦法是變裸的dp與之對拍。

  要注意的一點是DP除非有嚴格的證明,否則不能夠隨意捨去狀態,這道題我曾自作主張地捨去了p=0的所有狀態,導致程序出了問題。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
#ifdef WIN32
#define LL "%I64d"
#else
#define LL "%lld"
#endif
#define MAXN 1100000
#define MAXV MAXN*2
#define MAXE MAXV*2
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
typedef long long qword;
//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]
//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]
//
//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i
//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];
//
//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]
//
//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]
//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]
//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]
//令a[j]=psum[j]=x,
// c[j]=f[j]+sum[j]=y
//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])
//最小化dp[i]->下凸包二分
inline int nextInt()
{
char ch;
int x=;
bool flag=false;
do
ch=getchar(),flag=(ch=='-')?true:flag;
while(ch<''||ch>'');
do x=x*+ch-'';
while (ch=getchar(),ch<='' && ch>='');
return x*(flag?-:);
} struct point
{
qword x,y;
}seq[MAXN];
int tops=-;
qword xmul(point p1,point p2,point p3)
{
return (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x);
}
double get_v(point p1,point p2)
{
return (double)(p2.y-p1.y)/(p2.x-p1.x);
}
qword dis[MAXN],cost[MAXN],p[MAXN];
qword psum[MAXN],sum[MAXN];
qword f[MAXN];
int n;
void work3()
{
int i,j;
int l,r,mid;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[]=;
seq[].x=psum[];
seq[].y=f[]+sum[];
tops=;
point pt;
for (i=;i<=n;i++)
{
l=-,r=tops;
while (l+<r)
{
mid=(l+r)>>;
if (get_v(seq[mid],seq[mid+])>dis[i])
{
r=mid;
}else
{
l=mid;
}
}
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])+cost[i]=y
//dp[i]=y-x*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])-cost[i]
//
//dp[i]=f[j]+sum[j]-psum[j]*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]-cost[i])
f[i]=seq[r].y-seq[r].x*dis[i]+(-sum[i-]+dis[i]*psum[i-])+cost[i];
pt.x=psum[i];
pt.y=f[i]+sum[i];
while (tops> && xmul(seq[tops-],seq[tops],pt)<=)tops--;
seq[++tops]=pt;
}
//for (i=0;i<=n;i++)
//3 cout<<f[i]<<endl;
cout<<f[n]<<endl;
}
void work1()
{
int i,j,k;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[]=;
qword t;
for (i=;i<=n;i++)
{
for (j=;j<i;j++)
{
t=;
for (k=j+;k<i;k++)
{
t+=(dis[i]-dis[k])*p[k];
}
f[i]=min(f[i],f[j]+t+cost[i]);
}
}
// for (i=0;i<=n;i++)
// cout<<f[i]<<endl;
cout<<f[n]<<endl;
}
void work2()
{
int i,j,k;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[]=;
for (i=;i<=n;i++)
{
for (j=;j<i;j++)
{
f[i]=min(f[i],-psum[j]*dis[i]+f[j]+sum[j] -sum[i-]+dis[i]*psum[i-]+cost[i]);
}
}
//for (i=0;i<=n;i++)
// cout<<f[i]<<endl;
cout<<f[n]<<endl;
} int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
//freopen("output.txt","w",stdout);
int i,j,k;
int x,y,z;
scanf("%d",&n);
for (i=;i<=n;i++)
{
dis[i]=nextInt();
p[i]=nextInt();
cost[i]=nextInt();
// if (!p[i])
// {
// i--;n--;
// }
}
for (i=;i<=n;i++)
{
psum[i]=psum[i-]+p[i];
sum[i]=sum[i-]+p[i]*dis[i];
}
//work1();
//work2();
work3();
return ;
}

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