Codeforces Round #845 (Div. 2) and ByteRace 2023 A-D

A. Everybody Likes Good Arrays!

题意：对给定数组进行操作：删除相邻两项，替换为两项的乘积，使得该数组奇偶相间。　

题解：从前向后遍历模拟

代码：

void solve(){

    int n=read(),ans=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)    a[i]=read()%2;

    for(int i=1;i<n;i++){

        if(a[i]&&a[i+1])   ans++;

        else  if(!a[i]&&!a[i+1]) ans++;

    }

    cout<<ans<<endl;

}

B. Emordnilap

题意：对n个数的每个全排列拼接上其逆序排列后的逆序对总数

题解：找规律  对于n个数 有如下性质：

　　　　1.有n!个排列

　　　　2.每个排列拼接上自己的逆序后 有n*(n-1)个逆序对

　　　　由此：逆序对总和即为n!*n*(n-1)个

代码：

void solve(){

    int n=read(),ans=1;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        ans*=i;

        ans%=mod;

    }

    ans*=n;

    ans%=mod;

    ans*=(n-1);

    ans%=mod;

}

C. Quiz Master

题意：在给定的数组中 选择其中几个使1~m的每个数是至少是一个选择的数字的因子 若选不出这样的几个数则输出-1 否则输出选择的最大数与最小值的差

题解：朴素的双指针思想 在对给定数组排序后 指向最大数与最小数的指针(分别记为R,L)有如下性质：

　　　　　　1.取上两个指针间所有数对最后答案无影响

　　　　　　2.对于目前不能构成选择区间的L,R指针，若L指针不动，只有R指针向后移动才可能重新构成满足题意的区间

　　　　所以采用双指针算法  R向后移动时记录新R的因子  L向后移动时去掉原L的因子 以此维护双指针区间

代码：

int a[N],cnt[N],n,m;

bool check(){

    for(int i=1;i<=m;i++){

        if(cnt[i]<=0) return false;

    }

    return true;

}

void solve(){

    n=read(),m=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();

    for(int i=1;i<=m;i++) cnt[i]=0;

    sort(a+1,a+n+1);

    int ans=inf;

    for (int i = 1, j = 1; i <=n; i ++ ){

        for(int h=1;h*h<=a[i];h++){

            if(a[i]%h==0){

                cnt[h]++;

                cnt[a[i]/h]++;

            }

        }

        while (j <= i && check()){

            ans=min(ans,a[i]-a[j]);

            j++;

            for(int h=1;h*h<=a[j-1];h++){

                if(a[j-1]%h==0){

                    cnt[h]--;

                    cnt[a[j-1]/h]--;

                }

            }

        }

    }

    if(ans<inf)cout<<ans<<endl;

    else cout<<-1<<endl;

}

D. Score of a Tree

题意：现有一棵根为1的树，其中初始点权是0或1。每一秒，一个点的点权变为其所有子节点的值的异或值。求在所有时间下，所有01配置的树节点的总值。

题解：对每一结点，有如下性质：

　　　　1.每个初始时刻值的期望为1/2　　　　

　　　　2.每个节点都存在一个时间点 tx ，在 tx 后该节点值始终为0。 且 tx 等于该节点的子树最大深度　　　　

　　　　3.每个节点在tx之前，其值的期望仍为1/2　　（对于性质3，可采用数学归纳法证明这一点）　　　

　　　所以对于整颗树，要求的值即为每个节点的最大子树深度*2^(n-1).

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