随便找的一份测试题
- T7
- T9
- T6
- T5
- T1
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- T3
- T4
- T8

随便找的一份测试题

总共9题，这里选择性地做一下。

时间仓促，没有核对答案。

T7

\[(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^3+x^9)(1+x^4+x^8+x^{12}+x^{16})...
\]

T9

先做EGF

\[f''-3f'-10f=25xe^{5x}
\]

\[f=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{5 x}+\frac{25}{686} e^{5 x} \left(49 x^2-14 x+2\right)
\]

再反演回去

\[c_1(-2)^n+c_2(5)^n+\frac{25}{686}a_n
\]

其中

\[a_n=
\left\{
\begin{array}{**lr**}
2, \ \ for\ n=0 \\
-4 ,\ \ for \ n=1 \\
5^{n-2}[49n(n-1)-70n+50] ,\ for\ n\geq 2
\end{array}
\right.
\]

T6

T5

solution to (a)

EGF板子题

\[\begin{aligned}
(...+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^2}{2!}+1)^2\cdot(...+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^3}{3!}+x)^2\\
=(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2\\
=\frac{e^{4 x}}{16}+\frac{1}{16} e^{-4 x}-\frac{1}{8}
\end{aligned}
\]

反演回去

\[a_n=\frac{1}{16}[4^n+(-4)^n]+\frac{-1}{8}[n==0]
\]

solution to (b)

这时候就要用到博大精深的汉语了

12人5工程，每个工程至少1人，每人最多1工程。

\[12*11*10*9*8*6^{12-5}
\]

solution to (c)

30个不同球放5个不同帽子。每个帽子至少1个球，但是1个帽子里不能装所有球。

水题。

$ 5!\cdot S_2(30,5)-5$

$S_2(n,m)$是第二类斯特林数，把$[n]$分为$m$个非空子集的划分个数

solution to (d)

n=15的错排是吗？没理解错的话

https://oeis.org/A000166

人生活苦短，记不住显式的公式$f(n)=n!(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...(-1)^n\frac{1}{n!})$还是递推吧

\[f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9,f(5)=44
\]

\[f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2)
\]

递推式的证明：

考虑排列的圆分解，错排(derangement）是说长度为1的cycle的个数为0。

考虑最后一个元素$n$，如果它所在的cycle长度$\geq 3$，这相当于把$n$插入到(n-1)-错排排列的圆分解的$(n-1)$个间隙之一，这有$(n-1)f(n-1)$种，贡献了第一项

如果它所在的cycle长度为2，相当于从[n-1]中选出一个与$n$构成【互相置换】，剩下的n-2个构成错排，这有$(n-1)f(n-2)$种，贡献了第二项

T1

Give a formula for the number of lattice paths from (0,0) to (3n,n) where there are no instances of a vertical step being followed by another vertical step.

dp呗

$dp[i][j][0]$表示是1个horizonal step来到(i,j)的方法数

$dp[i][j][1]$表示是1个vertical step来到(i,j)的方法数

\[dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0]+dp[i-1][j][1]\\
dp[i][j][1]=dp[i][j-1][0]\\
ans[i][j]=dp[i][j][0]+dp[i][j][1]
\]

边界条件

\[dp[i][0][0]=1 \\
dp[i][0][1]=0 \\
for \ i\geq1 \\
dp[0][1][0]=0 \\
dp[0][1][1]=1 \\
\\and\\
dp[0][j][0]=0 \\
dp[0][j][1]=0 \\
for \ j\geq1
\]

嗯这个肯定有简单的方法，但我暂时没想到

T2

给你一个图，问你它是不是平面图或者是不是和平面图同构？给出理由

直接上库拉托夫斯基定理Kuratowski's Theorem

一个图是平面的当且仅当它不包含同胚于$K_5$或$K_{3,3}$的子图

A graph is planar if and only if it contains no subdivision of either $K_5$ or $K_{3,3}$

我找了半天，你可以看到一个同胚于$K_5$的子图，所以图$G$不是平面图

用那个Euler不等式

$e>3v-6$,则图$G$非平面图

$19<24$ 没作用

T3

图形的色数是产生图形正确着色所需的最小颜色数。(点染色)

首先团数clique number(能找到的最大$i$,存在子图是完全图$K_i$)是3，那么色数至少是3

提示已经给到位了，我们把字符串看成十进制数，然后按照%3的余数进行染3种色：比如mod3为0染0号色；mod3为1染1号色；mod3为2染2号色

考虑颜色相同的两个不同的点，它们肯定不相邻，因为相邻的点mod3一定不等。

这说明我们找到了3种颜色点染色的方案。

所以，图$G$的色数是3

T4

手解Ford-Fulkerson algorithm

算了这算法我没弄明白过

吐个槽，我差点和那个求最短路的Bellman Ford algorithm弄混了

但是这题给的例子太弱了，甚至可以直接看出来

可以先把比边权都除以5，方便计算

最后的最大流是20，一种方案是

T8

没看懂

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