Lucas:

卢卡斯定理说白了只有一条性质

$$ C^n_m \equiv C^{n/p}_{m/p} \times C^{n \bmod p}_{m \bmod p} \ (mod \ \ p) $$

用于 m,n 很大时快速求组合数。(p 为质数)

CODE:

 long long Lucas(long long n,long long m){
if(m==)return ;
if(n<m)return ;
if(n<p&&m<p)return fac[n]*inv[n-m]%p*inv[m]%p;
return Lucas(n/p,m/p)*Lucas(n%p,m%p)%p;
}

证明:

前置技能:二项式定理

对于任意质数p,根据费马小定理有:

然后我们把(1+x)^n这个式子处理一下:

然后同时我们还有:

观察一下两个式子x的m次方的系数,可以得到:

然后我们回到最开始的递归形式的那个式子,会发现…… 就证完了OvO

( 引用自 hy 大佬课件)

Lucas 卢卡斯定理的更多相关文章

  1. CRT中国剩余定理 &amp; Lucas卢卡斯定理

    数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainde ...

  2. Lucas卢卡斯定理

    当$p$为素数时 $$C_n^m\equiv C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod\ p)$$ 设$n=s*p+q,m\equiv t*p+r(q,r<=p)$ 我 ...

  3. 卢卡斯定理 Lucas (p为素数)

    证明摘自:(我网上唯一看得懂的证明) https://blog.csdn.net/alan_cty/article/details/54318369 结论:(显然递归实现)lucas(n,m)=luc ...

  4. 卢卡斯定理Lucas

    卢卡斯定理Lucas 在数论中,\(Lucas\)定理用于快速计算\(C^m_n ~ \% ~p\),即证明\(C^m_n = \prod_{i = 0} ^kC^{m_i}_{n_i}\)其中\(m ...

  5. 数论篇7——组合数 &amp; 卢卡斯定理(Lucas)

    组合数 组合数就是高中排列组合的知识,求解组合数C(n,m),即从n个相同物品中取出m个的方案数. 求解方式 求解通式:$C^{m}_{n}=\dfrac {n!}{m!\left( n-m\righ ...

  6. Lucas(卢卡斯)定理

    Lucas定理 对于C(m,n)%P(P是质数)这样的问题,可以通过预处理阶乘和阶乘的逆元,来快速计算.但是当m,n大于P时,就不能保证m,n与P互质了,但不互质的情况下,乘法逆元不存在,此时就需要卢 ...

  7. 【BZOJ4403】序列统计(组合数学,卢卡斯定理)

    [BZOJ4403]序列统计(组合数学,卢卡斯定理) 题面 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取 ...

  8. 【Luogu3807】【模板】卢卡斯定理(数论)

    题目描述 给定\(n,m,p(1≤n,m,p≤10^5)\) 求 \(C_{n+m}^m mod p\) 保证\(P\)为\(prime\) \(C\)表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. 输入输 ...

  9. 【数论】卢卡斯定理模板 洛谷P3807

    [数论]卢卡斯定理模板 洛谷P3807 >>>>题目 [题目] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 [输入格式] 第一行一个 ...

随机推荐

  1. MySQL设置字符集为UTF8(Windows版)

    Windows版MySQL设置字符集全部为utf8的方式 MySQL安装目录下的my.ini文件 [client]节点 default-character-set=utf8    (增加) [mysq ...

  2. Spring.Net的AOP的通知

    一.拦截环绕通知(around advice):Spring.NET中最基本的通知类型是拦截环绕通知(interception around advice),即方法拦截器.拦截环绕通知继承IMetho ...

  3. 经典贪心算法uva11729

    uva11729 这个题的题意是 你有n个部下,每个部下需要完成一项任务.第i个部下需要你花Bi分钟交代任务,然后他会立刻独立地.无间断地执行Ji分钟后完成任务. 你需要选择交待任务的顺序,使得所有任 ...

  4. Equal Sum Sets

    题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=49406 题意: 输入n,k,s,求在不小于n的数中找出k个不同的数 ...

  5. AngularJS--学习笔记(一)

    AngularJS官方网站提供了一个用于学习的示例项目:PhoneCat.这是一个Web应用,用户可以浏览一些Android手机,了解它们的详细信息,并进行搜索和排序操作. 对于PhoneCat项目的 ...

  6. ABAP锁、数据库锁

    声明:原创作品,转载时请注明文章来自SAP师太技术博客( 博/客/园www.cnblogs.com):www.cnblogs.com/jiangzhengjun,并以超链接形式标明文章原始出处,否则将 ...

  7. linux的NetworkManager服务(转)

    在开启NetworkManager服务的情况下,在终端下敲“service network restart”命令: 正在关闭接口 eth0: 设备状态:3 (断开连接) [确定] 正在关闭接口 eth ...

  8. 4ci

  9. java Illegal unquoted character ((CTRL-CHAR, code X)): has to be escaped using backslash to be included in string value

    今天在同步日志到ES的时候出现转换Json后 存到es中报这个错. Illegal unquoted character ((CTRL-CHAR, code X)): has to be escape ...

  10. matlab 的解函数的不同方式

     f=@(x)(sin(x)+2*x); f(pi/2) f=sym('sin(x)+2*x'); subs(f,'x',pi/2) %将 g 表达式中的符号变量 s 用 数值 f 替代 f=i ...