因为要求数值不同,不妨设gcd(x,y)=1。由提示可以知道,x/y是纯循环小数的充要条件是x·klen=x(mod y)。因为x和y互质,两边同除x,得klen=1(mod y)。那么当且仅当k和y互质,存在len使该式成立。

  于是现在要求的就是

  k是固定的,先不管后面一部分。套路地化式子:

  

  

  

  设f(i)=[i⊥k]。注意到k很小,并且显然有gcd(j,k)=gcd(j%k,k)。于是O(k)的预处理出f的前缀和。

  

  那么几乎已经做到线性了,能拿到84分,感觉非常棒。

  然而要A掉还需要低于线性的做法。看到两个下取整就会特别想整除分块。那么现在我们需要求的是g(i)=μ(i)*[i⊥k]的前缀和。

  继续套路地化:

  

  

  

  注意到若i和d不互质,则μ(id)=0,否则μ(i)·μ(d)=μ(id)。

  

  可以发现后面一个求和和我们的g函数形式上是一样的。于是可以递归求解,记忆化一下。边界k=1时用杜教筛求出μ的前缀和。

  考虑复杂度。上面式子中的n有√N种(⌊N/d⌋的取值个数),k有√K种(K的因子个数)。转移时枚举因子√K种。把μ筛到2e7的话,杜教筛的次数非常少。于是总复杂度约为O(k√n+n2/3),且远远跑不满。

  以上复杂度分析均为口胡。总之O(能过)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int read()
{
int x=,f=;char c=getchar();
while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}
while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
return x*f;
}
#define N 20000010
#define K 2010
int n,m,k,mobius[N],prime[N],sum[K],cnt=;
long long ans=;
bool flag[N];
map<int,int> miu;
map<int,int> G[K];
int gcd(int n,int m){return m==?n:gcd(m,n%m);}
inline int f(int n){return sum[k]*(n/k)+sum[n%k];}
int calc(int k)
{
if (k<=min(min(n,m),N-)) return mobius[k];
if (miu[k]) return miu[k];
int s=;
for (int i=;i<=k;i++)
{
int t=k/(k/i);
s-=(t-i+)*calc(k/i);
i=t;
}
miu[k]=s;
return s;
}
int g(int n,int k)
{
if (n==) return ;
if (G[k][n]) return G[k][n];
if (k==) return calc(n);
int s=;
for (int i=;i*i<=k;i++)
if (k%i==)
{
if (mobius[i]-mobius[i-]) s+=g(n/i,i);
if (i*i!=k&&(mobius[k/i]-mobius[k/i-])) s+=g(n/(k/i),k/i);
}
G[k][n]=s;
return s;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("bzoj4652.in","r",stdin);
freopen("bzoj4652.out","w",stdout);
const char LL[]="%I64d\n";
#else
const char LL[]="%lld\n";
#endif
n=read(),m=read(),k=read();
flag[]=;mobius[]=;
for (int i=;i<=max(min(min(n,m),N-),k);i++)
{
if (!flag[i]) prime[++cnt]=i,mobius[i]=-;
for (int j=;j<=cnt&&prime[j]*i<=min(min(n,m),N-);j++)
{
flag[prime[j]*i]=;
if (i%prime[j]==) break;
else mobius[prime[j]*i]=-mobius[i];
}
}
for (int i=;i<=max(min(min(n,m),N-),k);i++) mobius[i]+=mobius[i-];
for (int i=;i<=k;i++)
sum[i]=sum[i-]+(gcd(i,k)==);
for (int i=;i<=min(n,m);i++)
{
int t=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1ll*(n/i)*f(m/i)*(g(t,k)-g(i-,k));
i=t;
}
cout<<ans;
return ;
}

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