一、动态连通性(Dynamic Connectivity)

Union-Find 算法(中文称并查集算法)是解决动态连通性(Dynamic Conectivity)问题的一种算法。动态连通性是计算机图论中的一种数据结构,动态维护图结构中相连信息。简单的说就是,图中各个节点之间是否相连、如何将两个节点连接,连接后还剩多少个连通分量。有点像我们的微信朋友圈,在社交网络中,彼此熟悉的人之间组成自己的圈子,熟悉之后就会添加好友,加入新的圈子。微信用户有几亿人,如何快速计算任意两个用户是否同属于一个圈子呢?计算机是如何将两个用户连接起来的呢?整个微信用户共有几个独立的圈子呢?Union-Find就可以解决上述问题。

二、基本概念
结合下面图的例子来了解基本概念:
 
图中8个节点都是独立互不连通的,也就是一共有8个连通分量。

连通是一种等价关系,也就是说具有如下三个性质:

1、自反性:节点pp是连通的。

2、对称性:如果节点pq连通,那么qp也连通。

3、传递性:如果节点pq连通,qr连通,那么pr也连通。

如果将节点1和节点2进行连接,那连通分量就剩余7个,如下图:
如何在计算中实现这些操作呢?
 
class UF:
   def __init__(self,N): #N表示初始化的节点数,也即最初的连通分量数
def union(self,p,q): # 将节点p和q进行连接
def connected(self,p,q): #判断p和q是否连接
def count(): #返回当前的连通分量

除了社交网络中的朋友圈计算,还可以判断编译器同一个变量的不同引用。

Union-Find 算法的关键就在于unionconnected函数的效率。使用什么样的数据结构来实现这种高效率呢?

三、解决思路

用树来表示节点直接的连接,只要是连接的节点都在同一颗树中,多棵树就是多个连通分量,进而组成了整个森林。怎么用森林来表示连通性呢?我们设定树的每个节点都有一个指针指向其父节点,如果是根节点的话,这个指针指向自己。

如果某两个节点被连通,则让其中的(任意)一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上,这样,如果节点pq连通的话,它们一定拥有相同的根节点:

class UF:
def __init__(self,N): #N表示初始化的节点数,也即最初的连通分量数
self.count=N
self.root=[0] #root表示存储每个节点的根节点,第一个位置用0占位
for i in range(1,N+1): #初始化每个节点的根节点指向自己
self.root.append(i) def union(self,p,q): # 将节点p和q进行连接,让p的根节点指向q节点的根节点即可
if self.connected(p,q):
return;
p_root=self.find(p)
q_root=self.find(q)
self.root[p_root]=q_root
self.count-=1 def find(self,p): #查找节点p的根节点
while p!=self.root[p]:
p=self.root[p]
return p def connected(self,p,q): #判断p和q是否连接
return self.find(p)=self.find(q) def count(): #返回当前的连通分量
return self.count

 算法效率分析:

从上述代码可以看出,union-find算法的效率主要在于find函数上面,因为union和connected两个函数的关键都在查找根节点上面,即find函数。find主要功能就是从某个节点向上遍历到树根,其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是logN,但这并不一定。logN的高度只存在于平衡二叉树,对于一般的树可能出现极端不平衡的情况,使得树几乎退化成直线链表,树的高度最坏情况下可能变成N,如下图所示:

如果按照上面的情况,左边圈子与右边圈子进行连接的话,每个圈子找到根节点的时间复杂度都是O(N)级别的,对于诸如社交网络这样数据规模巨大的问题,而unionconnected的调用都非常频繁,每次都需要线性时间复杂度,效率就显得比较低下了。其实这个问题就是树不平衡造成的。

四、平衡树

 造成树不平衡的主要原因就是在节点关联的时候,没有考虑树节点的多少,而是直接将p节点的根节点直接关联到q节点的根节点上。
 
如上图所示,第一种关联就是不平衡树,第二种关联就比较好。所以改进的方法就是,在union之前,先判断两个树的大小(节点数量),将小点的树附加到大点的树上。这样,合并后的树的深度不会变得非常大。要判断树的大小,需要引进一个新的数组,size 数组,存放树的大小,初始化的时候 size 各元素都设为 1。
class UF:
def __init__(self,N): #N表示初始化的节点数,也即最初的连通分量数
self.count=N
self.root=[0] #root表示存储每个节点的根节点,第一个位置用0占位
self.size=[0]
for i in range(1,N+1): #初始化每个节点的根节点指向自己,树的大小为1
self.root.append(i)
self.size.append(1) def union(self,p,q): # 将节点p和q进行连接,让p的根节点指向q节点的根节点即可
if self.connected(p,q):
return;
p_root=self.find(p)
q_root=self.find(q)
if size[p_root]<= size[q_root]:
self.root[p_root]=q_root
self.size[q_root]+=self.size[p_root] #p节点数合并到q根节点上
else:
self.root[q_root]=self.root[p_root]
self.size[p_root]=self.size[p_root] #q节点数合并到p根节点上
self.count-=1 def find(self,p): #查找节点p的根节点
while p!=self.root[p]:
p=self.root[p]
return p def connected(self,p,q): #判断p和q是否连接
return self.find(p)=self.find(q) def count(): #返回当前的连通分量
return self.count

 

五、路径压缩(进一步优化find函数)

是不是可以进一步压缩树的高度,加快find函数的查找速度,find的效率提升了,等于union和connected函数效率提升了。

如果是上图这种形式,那查找速度基本就是O(1)级别了。但是一个平衡树一步是不可能压缩到这种形式,可以在find函数中加上一行代码,在每次查找的时候,就可以顺便压缩了路径,将树的高度进一步降低,代码如下:

class UF:
def __init__(self,N): #N表示初始化的节点数,也即最初的连通分量数
self.count=N
self.root=[0] #root表示存储每个节点的根节点,第一个位置用0占位
self.size=[0]
for i in range(1,N+1): #初始化每个节点的根节点指向自己,树的大小为1
self.root.append(i)
self.size.append(1) def union(self,p,q): # 将节点p和q进行连接,让p的根节点指向q节点的根节点即可
p_root=self.find(p)
q_root=self.find(q)
if p_root==q_root:
return
if self.size[p_root]<= self.size[q_root]:
self.root[p_root]=q_root
self.size[q_root]+=self.size[p_root] #p节点数合并到q根节点上
else:
self.root[q_root]=self.root[p_root]
self.size[p_root]=self.size[p_root] #q节点数合并到p根节点上
self.count-=1 def find(self,p): #查找节点p的根节点
while p!=self.root[p]:
self.root[p]=self.root[self.root[p]]#路径压缩,直接把p节点指向其父节点的父节点,其实查找也变成了跳跃查找了。
p=self.root[p]
return p def connected(self,p,q): #判断p和q是否连接
return self.find(p)==self.find(q) def count_func(): #返回当前的连通分量
return self.count

这种思路每调用一次find函数,路径就会压缩一次,直到路径不能压缩为止

看代码不好理解,我们以图示的形式进行展示:

 
可以看出每查找一次跟节点,路径就压缩一次。

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