【CF600E】Lomset gelral 题解（树上启发式合并）
题目大意：给出一颗含有$n$个结点的树，每个节点有一个颜色。求树中每个子树最多的颜色的编号和。
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树上启发式合并(dsu on tree)。
我们先考虑暴力怎么做。遍历整颗树，暴力枚举子树然后用桶维护颜色个数。这样做是$O(n^2)$的，显然会T。我们需要一种更快的算法：树上启发式合并。
关于启发式算法的介绍，详见OI Wiki。本文只介绍树上启发式合并算法。本题的解法：
每处理完一颗子树，我们都要把桶清空一次，以免对它的兄弟造成影响。而这样做还要从它的祖先遍历一遍，浪费时间。
我们发现：遍历最后一颗子树时，桶是不用清空的。因为遍历完那颗子树后可以直接把答案加入$ans$中。那我们肯定选重儿子啊，省时省力。遍历轻儿子相对不费事。
看起来是不是没有快多少？实际上它是$O(n\log n)$的。下面是证明：
对于每个节点，它被计算的次数就是它到根节点路径的轻边个数。
而结点往上跳一次，子树大小至少为原来两倍，所以轻边个数最多是$\log n$。所以时间复杂度$O(n\log n)$。
证明过程跟树链剖分的有点像。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,color[],bucket[],ans[];
int size[],son[],sum,mx;
int head[],cnt;
struct node
{
int next,to;
}edge[];
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
edge[++cnt].next=head[from];
edge[cnt].to=to;
head[from]=cnt;
}
inline void dfs_son(int now,int fa)
{
size[now]=;
int mx=,p=;
for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to;
if (to==fa) continue;
dfs_son(to,now);
size[now]+=size[to];
if (size[to]>mx)
{
mx=size[to];
p=to;
}
}
if (p) son[p]=;
}
void getans(int x,int f,int p){
bucket[color[x]]++;
if(bucket[color[x]]>mx){
mx=bucket[color[x]];
sum=color[x];
}else if(bucket[color[x]]==mx)sum+=color[x];
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
int y=edge[i].to;
if(y==f || y==p)continue;
getans(y,x,p);
}
}
inline void init(int now,int fa)
{
bucket[color[now]]--;
for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to;
if (to==fa) continue;
init(to,now);
}
}
inline void dfs(int now,int fa)
{
int p=;
for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to;
if (to==fa) continue;
if (!son[to])
{
dfs(to,now);
init(to,now);
sum=mx=;
}
else p=to;
}
if (p) dfs(p,now);
getans(now,fa,p);
ans[now]=sum;
}
signed main()
{
n=read();
for (int i=;i<=n;i++) color[i]=read();
for (int i=;i<n;i++)
{
int x=read(),y=read();
add(x,y);add(y,x);
}
dfs_son(,);
dfs(,);
for (int i=;i<=n;i++) printf("%lld ",ans[i]);
return ;
}
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