Description

ZZY有独特的裁员技巧:每个同学都有一个考试得分$a_i(-1000 \leq a_i \leq 1000)$,在$n$个同学$(n \leq 500)$中选出不大于$k$段$(k \leq n)$相邻的同学留下,裁掉未被选中的同学,使剩下同学的得分和最大。要特别注意的是,这次考试答错要扣分【不要问我为什么】,所以得分有可能为负。

Solution

对于$n^3$复杂度:
设$f(i,j)$表示当前选到第$i$个数,选取的段数$\leq j$的最大价值,$s_i$表示前缀和,可以分类讨论:

  • $i$不选,则$f(i,j)=f(i-1,j)$
  • $i$选,则$f(i, j)=\max \left\{f(k, j-1)+s_{i}-s_{k}\right\}(k < i)$

对于$n^2$复杂度:
设$g(i,j-1)=f(k,j-1)-s_k$,在更新$f$的时候顺便更新$g$,可以做到$n^2$的复杂度

对于$n^2$复杂度:
还有别的思路:

设$f(i,j)$表示当前选到第$i$个数,选取的段数$\leq j$,且$i$不一定选择的最大价值,$g(i,j)$表示当前选到第$i$个数,选取的段数$\leq j$,且$i$一定选择的最大价值

更新$g$时,需要讨论$i-1$是否选择,更新$f$时,需要讨论$i$是否选择:

$$g(i, j)=\max \{g(i-1, j), f(i-1, j-1)\}+a_{i}$$

$$f(i, j)=\max \{g(i, j), f(i-1, j)\}$$

实现时可以滚动数组省去一维,空间复杂度$O(n)$

对于$n\log n$复杂度:
可以贪心

对于一段连续的符号相同的数,只有全部选择或全部不选择两种情况:

  • 如果一段负数只选择了一半,就可以找到更大的价值(不选这段负数)
  • 如果一段正数只选择了一半,也可以找到更大的价值(同时选择另一段)

所以可以将所有连续的、符号相同的数融合成一个数

设当前序列中正数的个数为$cnt$

  • $cnt \geq k$时,选择最大的$k$个正数
  • $cnt < k$时,需要做出一些放弃

要么选择一个负数,将两个正数连接在一起;要么放弃一个正数

不论哪一种选择,选择对数$x$进行操作,损失的价值都为$|x|$

使用优先队列可以实现

对于$n$复杂度:
贪心还可以改进

假设当前还需要合并$m$个数,那么:

  • 大小小于第$m$大的必定要被合并
  • 大小大于第$3m$大的必定不会被合并
  • 每一轮合并至少合并了$\frac m3$个数

每次合并将三个数合并为一个,所以合并$m$个数最多会影响$3m$个数,假如每次影响的三个数大小都为小于第$m$大,就会合并$\frac m3$个数

总时间复杂度:$n+\frac{2}{3} n+\left(\frac{2}{3}\right)^{2} n+\ldots$

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<utility>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,k,l[],r[],l1[],r1[],tot,cnt;
long long ans,a[];
bool del[],del1[],in[];
queue<long long>q;
pair<long long,int>t[],minn,maxx;
inline int read()
{
int f=,w=;
char ch=;
while(ch<''||ch>'')
{
if(ch=='-')
f=-;
ch=getchar();
}
while(ch>=''&&ch<='')
{
w=(w<<)+(w<<)+ch-'';
ch=getchar();
}
return f*w;
}
void delet1(int x)
{
if(x)
{
int L=l1[x],R=r1[x];
l1[R]=L;
l1[L]=R;
del1[x]=true;
}
}
void delet(int x)
{
if(x)
{
--tot;
int L=l[x],R=r[x];
l[R]=L;
r[L]=R;
del[x]=true;
delet1(x);
}
}
void add(int x)
{
if(x&&pair<long long,int>(abs(a[x]),x)<=minn)
{
in[x]=true;
q.push(x);
}
}
void merge(int x)
{
if(del[x])
{
return;
}
int L=l[x],R=r[x];
if(L&&abs(a[L])<abs(a[x]))
{
return;
}
if(R&&abs(a[R])<abs(a[x]))
{
return;
}
delet(L);
delet(R);
a[x]+=a[L]+a[R];
if(L&&R)
{
add(x);
}
else
{
delet(x);
} }
int main()
{
n=read();
k=read();
for(int i=;i<=n;i++)
{
int x=read();
if(!x)
{
continue;
}
if(x<&&!tot)
{
continue;
}
if(tot&&a[tot]<==x<)
{
a[tot]+=x;
}
else
{
a[++tot]=x;
}
}
if(tot&&a[tot]<)
{
--tot;
}
for(int i=;i<=tot;i++)
{
l[i]=l1[i]=(i+tot)%(tot+);
r[i]=r1[i]=(i+)%(tot+);
}
while(tot>k*-)
{
cnt=;
for(int i=r1[];i;i=r1[i])
{
if(!del1[i])
{
t[++cnt]=pair<long long,int>(abs(a[i]),i);
}
}
int temp=(tot-(k*-))>>;
nth_element(t+,t+min(cnt,temp),t+cnt+);
minn=t[min(cnt,temp)];
nth_element(t+,t+min(cnt,*temp),t+cnt+);
maxx=t[min(cnt,*temp)];
for(int i=r1[];i;i=r1[i])
{
pair<long long,int> p(abs(a[i]),i);
if(p>maxx)
{
delet1(i);
}
else
{
add(i);
}
}
while(q.size())
{
int u=q.front();
q.pop();
in[u]=false;
merge(u);
}
}
for(int i=r[];i;i=r[i])
{
if(a[i]>)
{
ans+=a[i];
}
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}

电脑班的裁员

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