Tilings-正文部分

后面真就大段文字。。。

9.2 转移函数方法

例子

考察最简单的那个$1\times 2$多米诺填充 $2\times n$的例子，

看每一列，要么是一个vertical的$1\times 2$（记作V）,要么是两个horizonal的$2\times 1$的左半部分（记作L），要么是两个horizonal的$2\times 1$的右半部分（记作R）

你有6个阶段决策要做，限制是：

如果上一阶段是V,这一阶段可以V,L,R

如果上一阶段是L,这一阶段可以R

如果上一阶段是R,这一阶段可以V,L,R

建图的话就是这样：

节点的含义是，上面表示【不突出，不突出】，下面表示【突出，突出】

你结合着这道题理解一下就清楚了，但是两个建的不是一个图（我承认很像，拍扁后几乎一样，但是并不是一个图）

拿矩阵语言描述这个图就是

补充

它还说同样的处理方法可以运用到$1\times 2$多米诺填充 $m\times n$上去，这当然。复杂度一般来说$O(n2^m)$或者$O(m2^n)$
这种方法还能被运用到 tiling problems in which the region being tiled is “essentially one-dimensional” in the sense that only one dimension is growing as n increases.比如，$1\times 1\times 2$ bricks填充 $8\times 8\times n$ box.一般性的理论告诉我们$a_n$满足线性递归，然而，the span of this recurrence could be extremely long.
如果把$\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)$换成$M=\left(\begin{array}{ll}
y & x \\
x & 0
\end{array}\right)$,得到的就不是数$a_n$而是x,y多项式。y表征一个水平多米诺，x表征一个竖直多米诺。这样 The upper-left entry of M6 is $ x^6 +6x^4y2 +5x^2y4 +y^6$ .可以看到$1\times 2$多米诺填充 $2\times6 $，其中正好4个竖直多米诺和2个水平多米诺的方案数是6
建模为完美匹配，物理学中类似的叫dimer configuration。回到那个xy例子，我们还能拿统计力学来做。blabla

9.3 其余的方法

9.3.1 the path method

把tile decorate一下，和path建立bijection.比如

或者和routing建立bijection 举例

9.3.2 The permanent-determinant and Hafnian-Pfafﬁan method

没看

9.3.3 The spanning tree method

没看

9.4 表示理论方法

没看

9.5 其他的组合方法

Kuo condensation

9.6Related topics,and an attempt at history

联系物理，化学之类的

这里介绍前沿，大段文字。

9.7 Some emergent themes

9.7.1 Recurrence relations

这样的问题本质上还是求整数数列的问题。什么样的问题具有nice的answer?Niceness是主观的，我们这里说一个问题是nice的，如果序列被一些数学著作收录或者被OEIS收录或者有可被经验式地推导的特征(即，满足线性递归方程)。当$a_n$以指数级的$n^2$增长时，没有机会找到线性递归。我们还能做什么呢？

一个回答是有理递归。

blabla

9.7.2 Smoothness

一个序列称作smooth的，如果$a_n$的最大素因子是$O(n)$量级的；称作ultra smooth 的，如果$a_n$最大素因子是$O(1)$量级

Call a sequence a1,a2,..., smooth if the largest prime factor of $a_n$ is O(n),

and ultra-smooth if the largest prime factor of an is O(1), that is, bounded. (Another word that is sometimes used instead of “smooth” is “round.”)

For example,

$H(3n)H(n)^3/H(2n)^3$ (the number of lozenge tilings of a regular hexagon of side n) is smooth;

$2^{n(n+1)/2}$ (the number of domino tilings of an Aztec diamond of order n) is ultra-smooth

经常的情况是我们计数问题的答案是smooth序列，smoothness经常是找到精确product formula的关键

9.7.3 Non-periodic weights

9.7.4 Other numerical patterns

9.7.5 Symmetry

9.8 Software

9.9 前沿Frontiers

【读书笔记】组合计数-Tilings-正文学一半的笔记的更多相关文章

WC集训DAY2笔记组合计数 part.1
目录 WC集训DAY2笔记组合计数 part.1 基础知识组合恒等式错排数卡特兰数斯特林数伯努利数贝尔数调和级数后记补完了几天前写的东西 WC集训DAY2笔记组合计数 part. ...
跟着鸟哥学Linux系列笔记3-第11章BASH学习
跟着鸟哥学Linux系列笔记0-扫盲之概念跟着鸟哥学Linux系列笔记0-如何解决问题跟着鸟哥学Linux系列笔记1 跟着鸟哥学Linux系列笔记2-第10章VIM学习认识与学习bash 1. ...
bzoj 2281 [Sdoi2011]黑白棋（博弈+组合计数）
黑白棋(game) [问题描述] 小A和小B又想到了一个新的游戏. 这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的,棋盘上有k个棋子,一半是黑色,一半是白色. 最左边是白色棋子,最右边是黑色棋子,相邻的棋子颜色 ...
[总结]数论和组合计数类数学相关（定理&证明&板子）
0 写在前面 0.0 前言由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. ...
【BZOJ4830】[HNOI2017]抛硬币（组合计数，拓展卢卡斯定理）
[BZOJ4830][HNOI2017]抛硬币(组合计数,拓展卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷题解暴力是啥? 枚举$A$的次数和$B$的次数,然后直接组合数算就好了:\(\display ...
一道组合数问题--出自曹钦翔_wc2012组合计数与动态规划
一道组合数问题--出自曹钦翔_wc2012组合计数与动态规划 [问题描述] 众所周知,xyc 是一个宇宙大犇,他最近在给他的学弟学妹们出模拟赛. 由于 xyc 实在是太巨了,他出了一套自认为很水的毒 ...
《Linux就该这么学》培训笔记_ch00_认识Linux系统和红帽认证
<Linux就该这么学>培训笔记_ch00_认识Linux系统和红帽认证文章最后会post上书本的笔记照片. 文章主要内容: 认识开源 Linux系统的种类及优势特性认识红帽系统及红帽 ...
《Linux就该这么学》培训笔记_ch01_部署虚拟环境安装Linux系统
<Linux就该这么学>培训笔记_ch01_部署虚拟环境安装Linux系统文章最后会post上书本的笔记照片. 文章主要内容: 在虚拟机中安装红帽RHEL7系统在Linux系统中找回r ...
《Linux就该这么学》培训笔记_ch03_管道符、重定向与环境变量
<Linux就该这么学>培训笔记_ch03_管道符.重定向与环境变量文章最后会post上书本的笔记照片. 文章主要内容: 输入输出重定向管道命令符命令行的通配符常用的转义字符重要 ...
《Linux就该这么学》培训笔记_ch04_Vim编辑器与Shell命令脚本
<Linux就该这么学>培训笔记_ch04_Vim编辑器与Shell命令脚本文章最后会post上书本的笔记照片. 文章主要内容: Vim编辑器 Shell脚本流程控制语句 if语句 f ...

随机推荐

攻防世界Web篇——unserialize3
知识点: 序列化与反序列化维基百科: 序列化(serialization)在计算机科学的数据处理中,是指将数据结构或对象状态转换成可取用格式(例如存成文件,存于缓冲,或经由网络中发送),以留待后 ...
我的编程之路刷题⑦:Problem 2719.--约瑟夫问题
2719: 约瑟夫问题时间限制 : 1.000 sec 内存限制 : 128 MB 题目描述有M个人,其编号分别为1-M.这M个人按顺序排成一个圈.现在给定一个数N,从第一个人开始依次报数, ...
kafka例子
<dependencies> <dependency> <groupId>org.apache.kafka</groupId> <artifact ...
“jupyter notebook 不能导入python库但是终端上可以实现”的问题的解决
在使用jupyter notebook的过程中,创建了一个新的环境(anaconda中env)后遇到了这样一个问题,就是: 在jupyter notebook上运行程序,中间发现有一个python库未 ...
uniapp项目 hbuilder工程转cli工程 hbuilder工程不可以用命令行打包
hbuilder工程不可以用命令行打包,只能用自带的发行手动打包 cli工程可以用命令行打包,可以配置多环境 1.安装空的cli项目 vue create -p dcloudio/uni-preset ...
js-var,let ,const 的区别
变量提升: 在js预编译阶段,函数和变量的声明会被提前检索编译,打乱了编写时的声明顺序. 函数字面量表达式不会被提升 var a = function(){}; ex: console.log(a) ...
微信点击链接：debugx5.qq.com提示您使用的不是x5内核
微信点击链接:debugx5.qq.com提示您使用的不是x5内核因为要测试小程序,需要webview调试功能,正常来说在微信任意一个聊天窗口,输入:debugx5.qq.com,点击该链接就可以, ...
STL练习-排列2
Ray又对数字的列产生了兴趣: 现有四张卡片,用这四张卡片能排列出很多不同的4位数,要求按从小到大的顺序输出这些4位数. Input 每组数据占一行,代表四张卡片上的数字(0<=数字<=9 ...
Vue3 向window注入方法 TS警告元素隐式具有 "any" 类型，因为索引表达式的类型不为 "number" 问题解决。
window['funcName'] = function(){}; // 'funcName'会标红警告 (window as any).funcName = function(){}; // 正确 ...
oracle中的merge into用法解析
一:merge into的形式 MERGE INTO [target-table] A USING [source-table sql] B ON([conditional expression] a ...

【读书笔记】组合计数-Tilings-正文 学一半的笔记