曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形.曾被称为“上帝的指纹”。 这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C。(此处Z、C均为复数)所有使得该公式无限迭代后的结果能保持有限数值的复数C的集合,构成曼德勃罗集。

曼德勃罗集:



看起来十分美丽和神秘,接下来就让我们用程序来绘制它。


在编写代码之前,我们先要了解这个图片中不同颜色所代表的含义。

首先注意到的自然是占面积最大的中央黑色。黑色代表在迭代次数达到上限后其模仍小于某固定值(这里为2)的所有点。

周围的渐变色则是由点的发散速度决定的,即经过了多少次迭代,其模值开始大于2。

程序主体分为以下四个方面

1. 计算迭代次数,也就是它的发散速度。迭代次数越少,其发散速度越快。

int k=0;
for (; k < 1000; k++)
{
if (z.get_mod2() > 4.0) break;
z = z * z + c;
}

2. 对坐标系统进行一定的缩放来与显示区域的坐标系统相匹配.

假设显示高度为disp_height,宽度为disp_width.而点在显示区域中的位置为(x, y).如果显

示复数平面的这个窗口具有最小值(real_min, imag_min)和最大值(real_max, imag_max),则每

个点需用以下系数加以缩放.

c.real = real_min + x * (real_max - real_min) / disp_width;
c.imag = imag_min + y * (imag_max - imag_min) / disp_height;

3. 配色

为了使得绘制出的图形更漂亮,一个好的配色方案是少不了的。这里我使用的是以下函数生成的配色:

void InitColor()
{
// 使用 HSL 颜色模式产生角度 h1 到 h2 的渐变色
int h1 = 240, h2 = 30;
for (int i = 0; i<MAXCOLOR / 2; i++)
{
Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);
Color[MAXCOLOR - 1 - i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);
}
}

4. ppm文件的格式

文件头部分

image << "P6\n"  //PPM magic number
<< width << ' ' //width, in ASCII decimal
<< height << '\n' //height, in ASCII decimal
<< 255<<'\n'; //maximum color value, in ASCII decimal

第一行是P2/P3/P6

第二行是图像的大小,先是行像素数,后是列像素数,中间有一个空格

第三行是一个介于1和65535之间的整数,而且必须是文本的,用来表示每一个像素的一个分量用几个比特表示。

图象数据部分

P6格式,图象数据以字节格式存储,每个色彩成分(R,G,B)一个字节,3个字节为一个像素点。

参考代码:

#include<iostream>
#include<string>
#include<fstream>
using namespace std; struct pixel //单个像素
{
char r, g, b;
}; class Complex
{
public:
Complex(double real = 0, double imag = 0) :real(real), imag(imag){}
Complex(Complex& com) :real(com.real), imag(com.imag){}
double& operator[](int i){ return i == 0 ? real : imag; }
double get_mod2(){ return pow(real, 2) + pow(imag, 2); }
Complex& operator=(Complex& com){ real = com.real; imag = com.imag; return *this; }
Complex operator+(Complex& com){ return Complex(real + com.real, imag + com.imag); }
Complex operator*(Complex& com){ return Complex(real*com.real - imag*com.imag, real*com.imag + imag*com.real); } private:
double real, imag;
}; class Mandelbrot
{
public:
Mandelbrot(int _width=640, int _height=480)
:path(path), width(_width), height(_height){}
~Mandelbrot(){}
public:
void set_path(string path)
{
this->path = path;
}
void draw(double from_x,double to_x,double from_y,double to_y) //图片保存路径
{
create_image();
write_head(); for (int y = 0; y < height; y++)
{
Complex c(0, from_y + (to_y - from_y) * y / (double)height);
for (int x = 0; x < width; x++)
{
c[0] = from_x + (to_x - from_x) * x / (double)width;
Complex z(0, 0);
int k;
for (k = 0; k < 1000; k++)
{
if (z.get_mod2() > 4.0) break;
z = z * z + c;
}
pixel p = { Color[k % 64].b, Color[k % 64].g,
Color[k % 64].r
};
pixel q = { 0, 0, 0 };
if (k == 1000) //收敛
{
image.write((char*)&q,sizeof(q));
}
else //发散
{
image.write((char*)&p,sizeof(p));
}
}
}
image.close();
}
void get_color(string path)
{
color.open(path,ios::binary);
for (int i = 0; i < 64; ++i)
{
color.read((char*)&Color[i], sizeof(pixel));
}
color.close();
}
int get_fileSize(){ return height*width*sizeof(pixel) / 1024; } //KB
private:
ofstream image;
ifstream color;
void create_image()
{
image.open(path,ios::binary);
}
void write_head() //文件头
{
image << "P6\n"
<< "#Mandelbrot Set\n"
<< width << ' '
<< height << '\n'
<< 255<<'\n';
} int width, height; //图片尺寸
pixel Color[64];
string path;
}; int main()
{ Mandelbrot test;
test.set_path("Mandelbrot.ppm");
test.get_color("color.dat"); //从文件中读取颜色数据
cout << test.get_fileSize()<<"KB";
test.draw(-2.1, 1.1, -1.2, 1.2); return 0;
}

---参考自:http://codebus.easyx.cn/yw80/post/zoomable-mandelbrot-set

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