题目描述

KJDH是个十分善于探索的孩子,有一天他把分子分母小于等于n的最简分数列在了纸上,他想找到这些分数里第k小的数,这对于KJDH来说当然是非常轻易,但是KJDH最近多了很多妹子,他还要去找妹子聊天,所以这个任务就交给你了。

输入

输入文件只有一行,两个数n,k,保证输入合法。

输出

输出文件包含两个用空格隔开的数,x,y,表示第k小的分数x/y。

样例输入

5 6 100 200

样例输出

3 5 6 91

提示

n=5时,有这些分数1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5。其中第6小的是3/5。

【数据规模与约定】
对于60%的数据,n<=2000
对于100%的数据,n<=50000
 

题解

这道题刚看到的时候完全没有头绪啊,打了暴力都感觉要T

后来听了正解发现是个比较巧妙的思想

我们首先二分一个小数

然后再找到最接近这个小数的分数——比如说二分出来的mid,你要找最接近的分数,我们可以枚举2~n为分母,这样我们可以直接算出分子了

找到分数后,我们需要计算小于等于这个分数的个数——那么我们同样也可以枚举2~n为分母,同样也可以算出分子,然后就是一个容斥啦

具体可以看一下代码

 #include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
using namespace std;
int n,k,sum;
bool flag[N];
vector<int>prime[N];
struct node{
int x,y;
};
bool operator < (node x,node y){
return x.x*y.y<x.y*y.x;
}
void dfs(int now,int s,int num,int limit,int x){
if (now==prime[x].size()){
if (num&) sum-=limit/s;
else sum+=limit/s;
return;
}
dfs(now+,s,num,limit,x);
dfs(now+,s*prime[x][now],num+,limit,x);
}
int calc(int x,int y){
sum=;
dfs(,,,x,y);
return sum;
}//计算<=x的数中与y的gcd值为1的个数
int check(int x,int y){
int ans=;
for (int i=;i<=n;i++){
int s=i*x/y;
ans+=calc(s,i);
}
return ans;
}
node find(double x){
node s={,};
for (int i=;i<=n;i++){
int y=(int)(x*i);
if (s<(node){y,i}) s=(node){y,i};
}
return s;
}
void pre(){
for (int i=;i<=n;i++)
if (!flag[i])
for (int j=i;j<=n;j+=i)
flag[j]=true,prime[j].push_back(i);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);
pre();
double l=0.0,r=1.0;//二分一个小数
while (true){
double mid=(l+r)/2.0;
node s=find(mid);//查找离这个小数最接近的分数
int num=check(s.x,s.y);//记录小于等于s的分数的个数
if (num<k) l=mid; else
if (num>k) r=mid; else{
printf("%d %d\n",s.x,s.y);
return ;
}
}
return ;
}

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