[NOI2017]泳池

实在没有思路啊~~~

luogu题解

1.差分,转化成至多k的概率减去至多k-1的概率。这样就不用记录“有没有出现k”这个信息了

2.n是1e9,感觉要递推然后利用数列的加速技巧

f[n]表示宽度为n的值,然后枚举最后一个连续高度至少为1的块,dp数组辅助

神仙dp:dp[i][j]表示宽度为i,j的高度出现限制,任意矩形不大于k的概率

设计确实巧妙:宽度利于转移给f,高度利于自己的转移

dp数组转移:枚举第一个到达j的限制的位置,这样,前面部分限制至少是j+1,后面至少是j,中间概率是P^(j-1)*(1-P)

    并且,若i*j<=k,那么新增的就是中间的i*j的矩形,两边都满足的情况下,现在也一定满足

  后缀和优化,限制j的范围,调和级数可以证明状态实际上只有klogk个,转移O(k)

边界:f[0]=1,dp[0][*]=1,注意,*是0~k+2

3.我们现在得到了f的递推式

先递推找到f的前几项

k范围限制不能矩乘

利用[学习笔记]Cayley-Hilmiton

可以倍增加多项式取模

k<=1000可以暴力取模

发现,模数的最高项是1,所以不用逆元!

O(k^2(logn+logk))

代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    ;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    +numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
;
;
ll a[*N],b[*N],f[*N],yu[*N],ret[*N];
ll dp[*N][*N];
ll mi[*N];
ll n,k,x,y;
ll P;
ll ans;
ll qm(ll x,ll y){
    ll ret=;
    while(y){
        ) ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=;
    }
    return ret;
}
void mul(ll *f,ll *g,ll *mo,int n){
    memset(b,,sizeof b);
    ;i<=n;++i){
        ;j<=n;++j){
            b[i+j]=(b[i+j]+f[i]*g[j]%mod)%mod;
        }
    }
    *n;i>=n;--i){
        if(b[i])
            ;j<=n;++j) b[i+j-n]=(b[i+j-n]+mod-b[i]*mo[j]%mod)%mod;
    }
    ;i<=n;++i) f[i]=b[i],b[i]=;
    ;i<=*n;++i) f[i]=,b[i]=;
}
ll calc(int k){
    memset(dp,,sizeof dp);
    ;i<=k+;++i) dp[][i]=;
    ;i<=k;++i){
        ;j>=;--j){
            ;l<=i;++l){
                dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[l-][j+]*dp[i-l][j]%mod*(+mod-P)%mod*mi[j-]%mod)%mod;
            }
            dp[i][j]=(dp[i][j+]+dp[i][j])%mod;
        }
    }
    ;i<=k;++i) a[k-i]=(mod-dp[i][]*(+mod-P)%mod)%mod;
    a[k+]=;
    memset(f,,sizeof f);
    f[]=;
    ;l<=*k;++l){
        ;i<=l;++i){
            >=) f[l]=(f[l]+f[l-i-]*dp[i][]%mod*(+mod-P)%mod)%mod;
            ])%mod;
        }
    }
    *k) return f[n];
    int y=n;
    memset(ret,,sizeof ret);
    memset(yu,,sizeof yu);
    ret[]=;
    yu[]=;
    while(y){
        ) mul(ret,yu,a,k+);
        mul(yu,yu,a,k+);
        y>>=;
    }
    ll bac=;
    ;i<=k;++i){
        bac=(bac+ret[i]*f[i]%mod)%mod;
    }
    return bac;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&x,&y);
    P=x*qm(y,mod-)%mod;
    int lp=k;
    mi[]=;
    ;i<=k;++i) mi[i]=mi[i-]*P%mod;
    printf()+mod)%mod);
    ;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    ;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/2/25 16:31:18
*/

总结:
1.DP还是有一点套路可循的,f是枚举最后连续的段,dp是枚举第一个限制到j的位置

2.线性递推的优化方法。

[NOI2017]泳池——概率DP+线性递推的更多相关文章

  1. 【BZOJ4944】【NOI2017】泳池 概率DP 常系数线性递推 特征多项式 多项式取模

    题目大意 有一个\(1001\times n\)的的网格,每个格子有\(q\)的概率是安全的,\(1-q\)的概率是危险的. 定义一个矩形是合法的当且仅当: 这个矩形中每个格子都是安全的 必须紧贴网格 ...

  2. BZOJ5017 [Snoi2017]炸弹[线段树优化建边+scc缩点+DAG上DP/线性递推]

    方法一: 朴素思路:果断建图,每次二分出一个区间然后要向这个区间每个点连有向边,然后一个环的话是可以互相引爆的,缩点之后就是一个DAG,求每个点出发有多少可达点. 然后注意两个问题: 上述建边显然$n ...

  3. codeforces 696C PLEASE 概率dp+公式递推+费马小定理

    题意:有3个杯子,排放一行,刚开始钥匙在中间的杯子,每次操作,将左右两边任意一个杯子进行交换,问n次操作后钥匙在中间杯子的概率 分析:考虑动态规划做法,dp[i]代表i次操作后的,钥匙在中间的概率,由 ...

  4. HDU 5863 cjj&#39;s string game ( 16年多校10 G 题、矩阵快速幂优化线性递推DP )

    题目链接 题意 : 有种不同的字符,每种字符有无限个,要求用这k种字符构造两个长度为n的字符串a和b,使得a串和b串的最长公共部分长度恰为m,问方案数 分析 : 直觉是DP 不过当时看到 n 很大.但 ...

  5. HDU - 6172:Array Challenge (BM线性递推)

    题意:给出,三个函数,h,b,a,然后T次询问,每次给出n,求sqrt(an); 思路:不会推,但是感觉a应该是线性的,这个时候我们就可以用BM线性递推,自己求出前几项,然后放到模板里,就可以求了. ...

  6. LG5487 【模板】线性递推+BM算法

    [模板]线性递推+BM算法 给出一个数列 \(P\) 从 \(0\) 开始的前 \(n\) 项,求序列 \(P\) 在\(\bmod~998244353\) 下的最短线性递推式,并在 \(\bmod~ ...

  7. BM求线性递推模板(杜教版)

    BM求线性递推模板(杜教版) BM求线性递推是最近了解到的一个黑科技 如果一个数列.其能够通过线性递推而来 例如使用矩阵快速幂优化的 DP 大概都可以丢进去 则使用 BM 即可得到任意 N 项的数列元 ...

  8. 利用Cayley-Hamilton theorem 优化矩阵线性递推

    平时有关线性递推的题,很多都可以利用矩阵乘法来解决. 时间复杂度一般是O(K3logn)因此对矩阵的规模限制比较大. 下面介绍一种利用利用Cayley-Hamilton theorem加速矩阵乘法的方 ...

  9. 矩阵乘法&amp;矩阵快速幂&amp;矩阵快速幂解决线性递推式

    矩阵乘法,顾名思义矩阵与矩阵相乘, 两矩阵可相乘的前提:第一个矩阵的行与第二个矩阵的列相等 相乘原则: a b     *     A B   =   a*A+b*C  a*c+b*D c d     ...

随机推荐

  1. Spring Boot中静态资源(JS, 图片)等应该放在什么位置

    Spring Boot的静态资源,比如图片应该放在什么位置呢, 如果你放在传统WEB共的类似地方, 比如webapp或者WEB-INF下,你会得到一张示意文件未找到的破碎图片.那应该放哪里呢? 百度一 ...

  2. C++/C#互调步骤

    一.C#调用C++ dll步骤(只能导出方法):  * 1. c++建立空项目->源文件文件夹中添加cpp文件和函数  * 2. c++属性设置中,配置类型设置为动态库dll,公共语言运行时支持 ...

  3. 【转】JavaScript面向对象

    http://www.cnblogs.com/dolphinX/p/4385862.html 理解对象 对象这个词如雷贯耳,同样出名的一句话:XXX语言中一切皆为对象! 对象究竟是什么?什么叫面向对象 ...

  4. (备忘)android模拟器摄像头模拟

    Camera分Front Camera和Back Camera 通常我们模拟后摄像头就可以了 三个选项 none:表示没有摄像头,打开摄像应用会崩溃 emulated:系统模拟一个动态的画面--在黑白 ...

  5. 2016最全的web前端面试题及答案整理

    面试web前端开发,不管是笔试还是面试,都会涉及到各种专业技术问题,今天小编整理了一些常见的web前端面试题及答案,希望对大家有所帮助. 1.常用那几种浏览器测试?有哪些内核(Layout Engin ...

  6. SQL2008-备份SQL数据库的语句

    SQL2008:1.备份库BACKUP DATABASE CDJQ_CEM2008 TO DISK = 'd:\zhu\123.bak'2.开启RAR加压功能EXEC sp_configure 'sh ...

  7. jvm系列(十):如何优化Java GC「译」

    本文由CrowHawk翻译,是Java GC调优的经典佳作. 本文翻译自Sangmin Lee发表在Cubrid上的"Become a Java GC Expert"系列文章的第三 ...

  8. Bootstrap3 排版-地址

    让联系信息以最接近日常使用的格式呈现.在每行结尾添加 可以保留需要的样式. Twitter, Inc. 795 Folsom Ave, Suite 600 San Francisco, CA 9410 ...

  9. Unit 1.前端基础之html

    一.什么是html 定义:全称是超文本标记语言(HyperText Markup Language),它是一种用于创建网页的标记语言.标记语言是一种将文本(Text)以及文本相关的其他信息结合起来,展 ...

  10. 第25月第6天 apachecn视频(机器学习实战)

    1.apachecn视频(机器学习实战) https://github.com/apachecn/AiLearning https://space.bilibili.com/97678687/#/ch ...