## 专题4-Routings: the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma

### 一些定义

• DAG 有向无环图
• $$\mathrm{wt}(e)$$ 边的权重
• $$\mathrm{wt}(P)=\prod \mathrm {wt}(e)$$ 路径的权重
• $$\mathrm{wt}(R)=\prod _{i=1}^n \mathrm {wt}(P)$$ routing的权重
• 源，汇 Let S ={s1,...,sn} and T ={t1,...,tn} be two (not necessarily disjoint) sets of vertices,which we call sources and sinks,respectively
• Routing定义 A routing from S to T is a set of paths P1,..., Pn from the n sources s1,...,sn to the n sinks t1,...,tn such that no two paths share a vertex.
• Let π be the permutation of [n] such that $$P_i$$ starts at source $$s_i$$ and ends at sink $$t_{π(i)}$$, and deﬁne sign(R) = sign(π).
• path matrix Q定义 $$q_{ij}=\sum\limits_{P\ path from\ s_i to\ t_j }\mathrm{wt}(P)$$ 考虑Q的元素$$q_{ij}$$时只是看$$s_i$$到$$t_j$$的所有路径

### the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma

【In particular】那里是说，

### Lindstrm–Gessel–Viennot lemma 应用

#### Example1 Binomial determinants

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} a_1,...,a_n \\ b_1,...,b_n \end{pmatrix} \end{gathered}$$记号表示的是那个行列式

...开始我还看不懂为什么there are $$\begin{gathered} \begin{pmatrix} a_i \\ b_j \end{pmatrix} \end{gathered}$$ SE paths from $$A_i$$ to $$B_j$$

SE path 是说southeast ，我以为是往东往北了

since every SE routing from A to B takes Ai to Bi for all i, 这是因为0≤a1 <···<an and 0≤b1 <···<bn ; points A ={A1,...,An} and B ={B1,...,Bn} where Ai = (0,ai) and Bi = (bi,bi) for1≤i≤n 然后你还要要走SE path

#### Example2 Counting permutations by descent set

$$f(\pi)=12.23.157.4$$

$$B_i$$点的坐标形如$$(c_{i-1},c_{i-1})$$，在y=x上

$$A_i$$点的坐标形如$$(0,c_i)$$

#### Example3 Rhombus tilings and plane partitions

1. 看成正视图，如此，容易看到3种【$$60^°120^°$$的菱形】每种都是$$n^2$$个

2. 思路是把每个菱形都看成是两个正三角形拼接，每个正三角形的中心作为一个节点，一般而言(内部的)每个节点和最近的3个节点相连。构成hexagonal grid。

相邻两个节点相连如果两个等边三角形上面正好是覆盖所用的菱形。问题转变为求完美匹配。

3. plane partition理解。从观点1的角度往前一步，给出【表明每个格子上垒有多少个cube】的俯视图。 an array of nonnegative integers(ﬁnitely many of which are non-zero)that is weakly decreasing in each row and column. We conclude that $$R_n$$ is also the number of plane partitions whose non-zero entries are at most n, and ﬁt inside an n×n square.

4. 从观点1的角度出发，看高度$$n-0.5$$，...，高度2.5，高度1.5，高度0.5，截cube stack的曲线。这对应于 n sources S1,...,Sn on the left to the sinks T1,...,Tn ，（S1到T1,S2到T2....）的routing。利用前面的Lindstrm–Gessel–Viennot lemma，矩阵元素$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} 2n \\ n+i-j \end{pmatrix} \end{gathered}$$

$R_n=det\bigg[\begin{gathered} \begin{pmatrix} 2n \\ n+i-j \end{pmatrix}\bigg] \end{gathered}_{1\leq i,j\leq n}=\prod\limits_{i,j,k=1}^{n}\frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}$

#### Example4 Catalan determinants, multitriangulations, and Pfafﬁan rings

$H_n(A) =\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \cdots\ &a_n\\ a_1 & a_2 & \cdots\ & a_{n+1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n+1} & \cdots\ & a_{2n}\\ \end{pmatrix}$

$H_n'(A) =\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots\ &a_{n+1}\\ a_2 & a_3 & \cdots\ & a_{n+2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n+1}& a_{n+2} & \cdots\ & a_{2n+1}\\ \end{pmatrix}$

##### the number of k triangulations of an n-gon

k-crossing 定义 a k-crossing in an n-gon to be a set of k diagonals that cross pairwise（两两相交）

k-triangulation定义 A k-triangulation is a maximal set of diagonals with no(k+1)-crossings.

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