描述

给定一张N个点的有向图,点i到点j有一条长度为 i/(gcd(i,j))的边。有Q个询问,每个询问包含两个数x和y,求x到y的最短距离。

输入格式

第一行包含两个用空格隔开的整数,N和Q。
接下来Q行,每行两个数x和y。

输出格式

输出Q行整数,表示从x到y的最短距离。

样例输入

6 2
4 6
2 5

样例输出

2
2

数据范围与约定

  • 对于30%的数据,1<=N<=100。
  • 对于70%的数据,1<=N<=10^5。
  • 对于100%的数据,1<=N<=10^7,1<=x,y<=N,Q<=10^5。

题解:
忽然发现,求1-n的质因数分解的和是可以线性筛的,怒赞!
为何不卡我们这些q*sqrt(n)的?出题人良心,好评!!!
代码:

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<vector>

 #include<map>

 #include<set>

 #include<queue>

 #include<string>

 #define inf 1000000000

 #define maxn 10000000+1000

 #define maxm 500+100

 #define eps 1e-10

 #define ll long long

 #define pa pair<int,int>

 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

 #define mod 1000000007

 using namespace std;

 inline int read()

 {

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }
int n,m,tot,p[maxn],f[maxn];
bool check[maxn];
inline int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
void get()
{
f[]=;tot=;
for2(i,,n)
{
if(!check[i]){p[++tot]=i;f[i]=i;};
for1(j,tot)
{
int k=p[j]*i;
if(k>n)break;
check[k]=;
f[k]=f[i]+p[j];
if(i%p[j]==)break;
}
}
} int main() { freopen("input.txt","r",stdin); freopen("output.txt","w",stdout); n=read();m=read();get();
while(m--)
{
int x=read(),y=read();
if(x==y){printf("0\n");continue;};
printf("%d\n",f[x/gcd(x,y)]);
} return ; }

补一下为什么质因数分解就是ans

假设求x->y的最短路,则直接走 这条路  长度为x/gcd(x,y)设这个长度的质因数分解为a1*a2*a3*a4……(两项可以相等)

然后要用到一个结论:

若a>=2,b>=2,则a+b<=a*b

移项就是 (1-a)*(1-b)>=1  这是显然的。

所以我们不妨把这个长度分开来走,

因为每拆一项都会使答案减小或不边,那我们不妨直接将该数全部分解为质数,一个一个质数来走。

举个例子

100-1,则100/gcd(100,1)的质因数分解为2*2*5*5

我们不妨使每次走的长度为2 2 5 5,而2+2+5+5=14<100 这样使长度之和达到最小。

所以我们可以这样走 100->50->25->5->1->1

有没有更短的路径呢?严格证法还待yy,不过貌似直觉上是显然的?

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