【BZOJ4403】序列统计(组合数学,卢卡斯定理)

题面

Description

给定三个正整数N、L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T,表示数据组数。

第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R,N、L和R的意义如题所述。

1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R。

Output

输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果。

Sample Input

2

1 4 5

2 4 5

Sample Output

2

5

题解

\(L,R\)不就是搞笑的吗?

直接向左平移\(L-1\)个单位就好了。。。

以下的\(X=R-(L-1)\)

现在,认真的来解决问题

考虑这样一道小学奥数题:

有\(n\)个相同的小球,要放进\(m\)个不同的盒子里

每个盒子可以为空,求放的方案数

先给每个盒子人为的放一个小球

再用隔板法计算

答案为\(C_{n+m-1}^{m-1}\)

现在,这个问题不就是一样的吗?

相当于有X个盒子,分别代表着X个数字

现在有\(i\)个小球,求放法总数

其中\(i\in [1,n]\)

所以,所求为:

\(\sum_{i=1}^nC_{i+X-1}^{X-1}\)

化简一下

\(C_{n+X}^X-1\)

然后卢卡斯一波就可以啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 1000003
#define MAX (MOD+1000)
#define ll int
ll n,L,R;
ll jc[MAX],inv[MAX];
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
ll fpow(ll a,ll b)
{
ll s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
ll C(ll m,ll n)
{
if(n<m)return 0;
return 1ll*jc[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}
ll Lucas(ll m,ll n)
{
if(n<m)return 0;
if(m==0)return 1;
return (1ll*Lucas(m/MOD,n/MOD)*C(m%MOD,n%MOD))%MOD;
}
int main()
{
int T;T=read();
jc[0]=inv[0]=1;
for(int i=1;i<MOD;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
inv[MOD-1]=fpow(jc[MOD-1],MOD-2);
for(int i=MOD-2;i;--i)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%MOD;
while(T--)
{
n=read();L=read();R=read();
R-=L-1;
printf("%d\n",(Lucas(R,n+R)-1+MOD)%MOD);
}
return 0;
}

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