一、基本概念

在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。

二、基本思想及策略

分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。

分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

三、分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;、

第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。

四、分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤:

step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;

step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题

step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下:

Divide-and-Conquer(P):

  1. if |P|≤n0

  2. then return(ADHOC(P))

  3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

  4. for i←1 to k

  5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

  6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

  7. return(T)

其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

五、分治法的复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有: 1 T(n)= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解:

递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当 mi≤n<mi+1时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、可使用分治法求解的一些经典问题

(1)二分搜索 (2)大整数乘法 (3)Strassen矩阵乘法 (4)棋盘覆盖 (5)合并排序 (6)快速排序 (7)线性时间选择

(8)最接近点对问题 (9)循环赛日程表 (10)汉诺塔

七、依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法,找到解决本问题的求解方程公式,然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 3、找到求解的递归函数式后(各种规模或因子),设计递归程序即可。

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