差分约束系统一般用来解决a-b>=c的问题,有n个这样的限制条件,求出某个满足这些条件的解

可以将这个问题转化成最长路问题,即b到a的距离最少为c,而有多条b到a的路的话,我们就取最长的b到a的距离。

将限制条件转化成为一条边,然后求最长路,一般解决最长路问题,我们使用的算法是spfa

入门题   hdu1201

题意:有n个限制条件,区间a到b至少是有c个点,求满足条件的最少端点数

分析:需要满足所有条件,那么首先想到的是差分约束系统。先定义数组G,Gi为0到i有Gi个端点,那么条件a到b区间至少有c个端点可以转化成,Gb-G(a-1)>=c

,显然n个限制条件是不够的,还需要满足1>=G(i+1)-G(i)>=0,转化为,G(i+1)-G(i)>=0和G(i-1)-G(i)>=-1,用这些边构造一个图,然后G(max)即为答案

由于边的数量比较多,用vector构图的话会超时,所以用邻接表加spfa

ac代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 50000+10;
int f[maxn],nex[maxn*3],w[maxn*3],to[maxn*3],cnt;
void add(int x,int y,int k)
{
cnt++;
w[cnt]=k;
to[cnt]=y;
nex[cnt]=f[x];
f[x]=cnt;
}
bool vis[maxn];
int dis[maxn]; int spaf()
{
for(int i=0;i<maxn;i++)dis[i]=-1;
queue<int>que;
que.push(0);
vis[0]=1;
dis[0]=0;
while(que.size())
{
// for(int i=0;i<=13;i++)cout<<dis[i]<<" ";cout<<endl; int x=que.front();
que.pop();
vis[x]=0;
// cout<<x<<endl;
for(int i=f[x];i;i=nex[i])
{
// cout<<to[i]<<" ";
if(dis[x]+w[i]>dis[to[i]])
{
dis[to[i]]=dis[x]+w[i];
if(vis[to[i]]==0)
{
vis[to[i]]=1;
que.push(to[i]);
}
}
}
// cout<<endl;
} }
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<maxn;i++)f[i]=0; for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x,y,w;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
add(x,y+1,w);
}
for(int i=1;i<=50000+1;i++)
{
add(i-1,i,0);
add(i,i-1,-1);
}
spaf();
printf("%d\n",dis[50000+1]);
return 0;
}

  

提升题    hdu6252

题意:给出的也是限制条件,但是也需要注意一个限制条件,dis[i]-dis[i-1]>0

ac代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=2005;
int f[maxn],w[maxn*3],to[maxn*3],nex[maxn*3];
bool vis[maxn];
int out[maxn],cnt=0,dis[maxn],n,m,k;
void add(int a,int b,int c)
{
cnt++;
w[cnt]=c;
to[cnt]=b;
nex[cnt]=f[a];
f[a]=cnt;
}
bool spfa()
{
for(int i=1; i<maxn; i++)dis[i]=-1,vis[i]=0,out[i]=0;
queue<int>que;
que.push(1);
vis[1]=1;
dis[1]=0;
while(que.size())
{
// for(int i=1;i<=n;i++)printf(" %d",dis[i]);cout<<endl;
int x=que.front();
// cout<<x<<"out"<<endl;
vis[x]=0;
que.pop();
out[x]++;
if(out[x]>n)
return false;
for(int i=f[x]; i; i=nex[i])
{
// cout<<to[i]<<"to"<<endl;
if(dis[x]+w[i]>dis[to[i]])
{
dis[to[i]]=dis[x]+w[i];
if(vis[to[i]]==0)
{
que.push(to[i]);
vis[to[i]]=1;
}
}
}
}
return true;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
for(int cn=1; cn<=T; cn++)
{
cnt=0;
scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
for(int i=1; i<maxn; i++)f[i]=0;
for(int i=2; i<=n; i++)
add(i-1,i,1);
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
if(a==b&&c==d)
{
add(b,c,k);
add(c,b,-k);
}
else
{
add(c,b,1-k);
add(a,d,k+1);
}
}
if(spfa())
{
printf("Case #%d:",cn);
for(int i=2;i<=n;i++)
printf(" %d",dis[i]-dis[i-1]);
cout<<endl;
}
else
printf("Case #%d: IMPOSSIBLE\n",cn);
}
return 0;
}

总结:

1.如果给出的是a-b>c,我们可以转化为,a-b>=c+1

2.如果给出的是a-b<=c,我们可以转化为,b-a>=-c

3.对于a-b>=c,我们可以构成b到a距离为c的边,然后构成图,求最长路

4.对于a-b<=c,我们可以构成b到a距离为c的边,然后构成图,求最短路

5.如果这些限制条件存在矛盾,即没有合法的答案时,图会存在回路,只需要判断某个点出队次数超过n次,直接返回false

6.一般情况,题目会存在一些隐含的限制条件,需要我们推理出来

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