Lucas(卢卡斯)定理】的更多相关文章

Lucas: 卢卡斯定理说白了只有一条性质 $$ C^n_m \equiv C^{n/p}_{m/p} \times C^{n \bmod p}_{m \bmod p} \ (mod \ \ p) $$ 用于 m,n 很大时快速求组合数.(p 为质数) CODE: long long Lucas(long long n,long long m){ ); ; if(n<p&&m<p)return fac[n]*inv[n-m]%p*inv[m]%p; return Lucas(n…
数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. 现在有方程组:中国剩余定理指出: 扩展中国剩余定理 在一般情况下,要求任两个数互质这个条件太苛刻了,CRT派不上用场,我们需要一个更具普遍性的结论,这就是EX-CRT.虽然是称为EX-CRT,但这个定…
当$p$为素数时 $$C_n^m\equiv C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod\ p)$$ 设$n=s*p+q,m\equiv t*p+r(q,r<=p)$ 我们要证$C_{s*p+q}^{t*p+r}\equiv C_s^t*C_q^r$ 首先得有个前置知识,费马小定理$x^p\equiv x(mod\ p)$ 那么$(x+1)^p\equiv x+1(mod\ p)$ 且$x^p+1\equiv x+1(mod\ p)$ 所以$(x+1)^p\equiv x…
证明摘自:(我网上唯一看得懂的证明) https://blog.csdn.net/alan_cty/article/details/54318369 结论:(显然递归实现)lucas(n,m)=lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p) 将n,m很大的数压成求两个小于p的组合数的乘积 数学上的卢卡斯定理两种形式:(n,m用p进制表示) 上代码: //打表 void init(ll x){ rec[]=; For(i,,x)mulmod(rec[i],rec[]*i); } //逆元 ll…
卢卡斯定理Lucas 在数论中,\(Lucas\)定理用于快速计算\(C^m_n ~ \% ~p\),即证明\(C^m_n = \prod_{i = 0} ^kC^{m_i}_{n_i}\)其中\(m_i\)为\(m\)的因式分解,\(n_i\)为\(n\)的因式分解,\(p\)为质数. 由\(Edward~Lucas\)在1878年提出. 证明: 首先我们将\(C^i_p\)进行一下变式即\(C^i_j = \frac{p!}{i!(p - i)!}\),提出来一个\(\frac{p}{i}\…
组合数 组合数就是高中排列组合的知识,求解组合数C(n,m),即从n个相同物品中取出m个的方案数. 求解方式 求解通式:$C^{m}_{n}=\dfrac {n!}{m!\left( n-m\right) !}$ 性质1:$C^{m}_{n}=C_{n}^{n-m}$ 性质2:$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}-i+C^{m}_{n-1}$ 打表递推 根据性质2:$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}$ 组合数算出来特别大,往往都会要求取余,这里取…
Lucas定理 对于C(m,n)%P(P是质数)这样的问题,可以通过预处理阶乘和阶乘的逆元,来快速计算.但是当m,n大于P时,就不能保证m,n与P互质了,但不互质的情况下,乘法逆元不存在,此时就需要卢卡斯定理来减小m,n的规模,此处证明略去,给出公式: C(n,m)%P=C(n/P,m/P)*C(n%P,m%P)%P ll Lucas(ll n,ll m) { if (m==0) return 1; return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod; }…
[BZOJ4403]序列统计(组合数学,卢卡斯定理) 题面 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数. 第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. 1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果. Samp…
题目描述 给定\(n,m,p(1≤n,m,p≤10^5)\) 求 \(C_{n+m}^m mod p\) 保证\(P\)为\(prime\) \(C\)表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数\(T(T≤10)\),表示数据组数 第二行开始共\(T\)行,每行三个数\(n m p\),意义如上 输出格式: 共\(T\)行,每行一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 2 1 2 5 2 1 5 输出样例#1: 3 3 题解 卢卡斯定理模板题 卢卡…
[数论]卢卡斯定理模板 洛谷P3807 >>>>题目 [题目] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 [输入格式] 第一行一个整数T(T\le 10T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 [输出格式] 共T行,每行一个整数表示答案. [输入样例] 21 2 52 1 5 [输出样例] 33 >>>>分析 emmmm模板题还是不用分析了吧 卢卡斯定理解决的就是组合数C(n,m…
哇,这道题真的好好,让我这个菜鸡充分体会到卢卡斯和欧拉函数的强大! 先把题意抽象出来!就是计算这个东西. p=999911659是素数,p-1=2*3*4679*35617 所以:这样只要求出然后再快速乘法就行了. 那好,怎么做呢? 有模运算的性质得到  然后就是卢卡斯原理. 先把卢卡斯原理放这里: void init(int mod){ //对mod取余后,一定小于mod,因此把mod的阶乘存起来就够用 f[] = ; ; i <= mod; i++){ f[i] = f[i - ] * i…
洛谷题目传送门 蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定\(N,G\),求\(G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)\) 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,\(a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)\),搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子\(a^{p-1}=1(\mod p)\),那原式的指数\(\sum…
[UOJ#275]组合数问题(卢卡斯定理,动态规划) 题面 UOJ 题解 数据范围很大,并且涉及的是求值,没法用矩阵乘法考虑. 发现\(k\)的限制是,\(k\)是一个质数,那么在大组合数模小质数的情况下可以考虑使用卢卡斯定理. 卢卡斯定理写出来是\(Lucas(n,m)=Lucas(n/K,m/K)*Lucas(n\%K,m\%K)\) 显然只要有任何一个\(Lucas(n\%K,m\%K)=C_{n\%K}^{m\%K}\)是\(K\)的倍数那么当前数就会是\(K\)的倍数.因为\(K\)是…
[BZOJ4903][UOJ#300]吉夫特(卢卡斯定理,动态规划) 题面 UOJ BZOJ:给的UOJ的链接...... 题解 首先模的质数更小了,直接给定了\(2\).当然是卢卡斯定理了啊. 考虑一个组合数在什么情况下会是一个奇数.\(Lucas(n,m)\equiv Lucas(n/2,m/2)*Lucas(n\%2,m\%2)\).后面这个东西一共只有\(4\)种取值,我们大力讨论一下:\(C_{0}^0=1,C_{0}^1=0,C_1^0=1,C_1^1=1\).既然是一个奇数,证明\…
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037 卢卡斯定理模板——大组合数取模 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long t,n,m,p,s; long long mi(long long a,long long k) { ; while(k) { )s=s*a%p; k>>=; a=a*a%p; } return s; } l…
P3807 [模板]卢卡斯定理 求 \(C_{m + n}^{m} \% p\) ( \(1\le n,m,p\le 10^5\) ) 错误日志: 数组开小(哇啊啊啊洼地hi阿偶我姑父阿贺佛奥UFO爱我帮你) Pre 好的我们继续恶补数学 首先复习一下 \(O(N)\) 求质数逆元的方法\[inv[1] = 1\]\[inv[i] = (p - p / i) * inv[p \% i] \% p (i >= 2)\] LL inv[maxn]; void get_inv(LL n){ inv[1…
[BZOJ1951]古代猪文(CRT,卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 要求什么很显然吧... \[Ans=G^{\sum_{k|N}{C_N^k}}\] 给定的模数是一个质数,要求解的东西相当于是上面那坨东西的结果对于\(\varphi\)的取值. 但是\(\varphi\)不是质数,不好直接\(Lucas\)定理,把\(\varphi\)分解质因数之后, 直接\(CRT\)合并结果就好了,所以这个就是\(ex\_Lucas\) #include<iostream> #include…
2982: combination Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 510  Solved: 316 Description LMZ有n个不同的基友,他每天晚上要选m个进行[河蟹],而且要求每天晚上的选择都不一样.那么LMZ能够持续多少个这样的夜晚呢?当然,LMZ的一年有10007天,所以他想知道答案mod 10007的值.(1<=m<=n<=200,000,000) Input   第一行一个整数t,表示有t组数据.(t&l…
4403: 序列统计 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 653  Solved: 320 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数.第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对106+3…
1272: [BeiJingWc2008]Gate Of Babylon Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 254  Solved: 120 Description Input Output Sample Input Sample Output 12 HINT Source [分析] T很小,跟以前的某一题很像啊,就是容斥. 枚举不符合的(超过限制的),2^t,然后就是算 n种无限多的东东中选m个. 经典的组合数题,$C_{n+m-1…
卢卡斯定理 把n写成p进制a[n]a[n-1][n-2]…a[0],把m写成p进制b[n]b[n-1][n-2]…b[0],则C(n,m)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[n-2])*…*C(a[0],b[0])模p同余 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define int long long int…
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037 卢卡斯定理模板——大组合数的取模 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long t,n,m,p,a[100005]; long long qpow(long long x,long long y) { if(y==0)return 1; long long ans=1; while(y…
P3807 [模板]卢卡斯定理 题目背景 这是一道模板题. 题目描述 给定n,m,p(1\le n,m,p\le 10^51≤n,m,p≤105) 求 C_{n+m}^{m}\ mod\ pCn+mm​ mod p 保证P为prime C表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数T(T\le 10T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 输出格式: 共T行,每行一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 1…
-我并不知道为什么事卡特兰数,反正用dp打的表就是卡特兰数,因为是两个三角所以再乘个2 卡特兰数使用\( h(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1} \)因为范围比较大所以组合数部分用卢卡斯定理来求. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> using namespace std; const int mod=10007,N=10020;…
P3807 [模板]卢卡斯定理 洛谷智推模板题,qwq,还是太弱啦,组合数基础模板题还没做过... 给定n,m,p($1\le n,m,p\le 10^5$) 求 $C_{n+m}^{m}\ mod\ p$ $lucas$定理: $C_{n}^{m}=C_{n\%p}^{m\%p}\times C_{n/p}^{m/p}\mod p$ 相当于把$n,m$写成$p$进制数($A_1,A_2\dotso A_k$),($B_1,B_2\dotso B_k$) $C_{n}^{m}=C_{A_1}^{…
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2982 卢卡斯定理裸题: 原准备1A来着,结果输出忘了加回车! 预处理阶乘或者现求都可以,感觉学到了一种现求 C 的写法呢. 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; ; ll fac[]; void i…
题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2480 题目背景 “在那山的那边海的那边有一群小肥猪.他们活泼又聪明,他们调皮又灵敏.他们自由自在生活在那绿色的大草坪,他们善良勇敢相互都关心……” ——选自猪王国民歌 很久很久以前,在山的那边海的那边的某片风水宝地曾经存在过一个猪王国.猪王国地理位置偏僻,实施的是适应当时社会的自给自足的庄园经济,很少与外界联系,商贸活动就更少了.因此也很少有其他动物知道这样一个王国. 猪王国虽然不大,但是土地肥沃,屋舍俨…
题目链接:https://nanti.jisuanke.com/t/A1842 题目大意:给定整数n,m,k,其中1≤m≤n≤1018,k≤10, 然后给出k个素数,保证M=p[1]*p[2]……*p[k]≤1018,p[i]≤105 求C(n,m)%(p[1]*p[2]……*p[k]) 解题思路:因为模数太大,所以我们先用卢卡斯定理求出对每个素数的模,然后再通过中国剩余定理就可以求得对它们的乘积的模. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace s…
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D来源:牛客网 Chino with Equation 时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒 空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K 64bit IO Format: %lld 题目描述 Chino的数学很差,因此Cocoa非常担心.今天,Cocoa要教Chino解不定方程. 众所周知,不定方程的解有0个或者若干个. 给出方程: Cocoa想知道这个不定方程的正整数解和非负整数解各有几…
a,b都非常大,但是p较小 前边两种方法都会超时的  N^2 和NlongN  可以用卢卡斯定理  P*longN*longP     定义: 代码: import java.util.Scanner; public class Main{ static int p; //快速幂 static long quick_pow(long a,long b){ long res=1; while(b>0){ if((b&1)==1) res=res*a%p; a=a*a%p; b>>=…
BS